[ffumanchu]

El ejercicio en cuestión pide demostrar, utilizando el morfismo asociado a la inmersión de Veronesse, que el complementario de una hipersuperficie proyectiva \( Z \subseteq\mathbb{P}^k_n \) es isomorfo a una variedad afín.

La verdad estoy un poco perdido. En principio, he utilizado que la imagen inversa por la inmersión de un hiperplano \( X \subseteq\mathbb{P}_k^N \) se corresponde con una hipersuperficie proyectiva \( (\phi_{n,d}(X))^{-1} = Z \). Y de ahí que el complementario de dicha superficie esté recubierto por los abiertos \( Z_i^c = U_i \cap Z^c \), y que estos se correspondan, para cada \( i \), con las variedades afines \( \theta^{-1}_i(Z) \), donde  \( \theta_i : A_k^n \to U_i : (y_1, \ldots, y_n) \mapsto (y_1 : \ldots : y_i : 1 : y_{i+1} : \ldots : y_n)\).

Se agradece la ayuda de antemano.

Pd: Adjunto fotos tanto del ejercicio 7 (el que quiero resolver), como del ejercicio 5 (el cuál he de utilizar como ayuda).

[Luis Fuentes]

Hola

 Tienes que \( \phi_{n,d}(Z)=X\cap Im(\phi_{n,d}) \) para un cierto hiperplano \( X \).

 Por tanto \( \phi_{n,d}|_{\Bbb P^n-Z} \) es una inmersión sobre \( \Bbb P^N-X \). Pero es sabido que \( \Bbb P^N-X\equiv{}\Bbb A^N \).

 Así que ya lo tienes. La inmersión de Veronesse lleva ese complementario en una subvariedad de un espacio afín.

Saludos.

[ffumanchu]

Hola

 Tienes que \( \phi_{n,d}(Z)=X\cap Im(\phi_{n,d}) \) para un cierto hiperplano \( X \).

 Por tanto \( \phi_{n,d}|_{\Bbb P^n-Z} \) es una inmersión sobre \( \Bbb P^N-X \). Pero es sabido que \( \Bbb P^N-X\equiv{}\Bbb A^N \).

 Así que ya lo tienes. La inmersión de Veronesse lleva ese complementario en una subvariedad de un espacio afín.

Saludos.

Primero de todo gracias por tu respuesta y la ayuda Luis. Sobre lo que comentas tengo dos pequeñas dudas:
1.- ¿Por qué el espacio proyectivo menos un hiperplano es equivalente al espacio afín? Pensaba que esto solo se daba cuando el hiperplano en cuestión era el hiperplano del infinito.
2.- En la conclusión, ¿por qué puedo afirmar que la inmersión de Veronesse lleva ese complementario, en particular, en una variedad afín y no en un abierto o un cerrado no irreducible?

[Luis Fuentes]

Hola

Primero de todo gracias por tu respuesta y la ayuda Luis. Sobre lo que comentas tengo dos pequeñas dudas:
1.- ¿Por qué el espacio proyectivo menos un hiperplano es equivalente al espacio afín? Pensaba que esto solo se daba cuando el hiperplano en cuestión era el hiperplano del infinito.

Pero el hiperplano del infinito es una elección puede ser cualquiera. Mediante un cambio de referencia proyectiva puedes llevar cualquier hiperplano al de ecuación \( x_0=0 \) ó \( x_n=0 \).

2.- En la conclusión, ¿por qué puedo afirmar que la inmersión de Veronesse lleva ese complementario, en particular, en una variedad afín y no en un abierto o un cerrado no irreducible?

Aquí no estoy seguro de cual es tu duda. El conjunto \( \Bbb P^n-Z \) es irreducible porque su clausura es irreducible; y una inmersion lleva irreducibles en irreducibles. Y la imagen es cerrada en \( \Bbb P^N-X \) porque es la intersección de ese conjunto con un cerrado: la la variedad de Veronesse \( Im(\phi_{n,d}) \).

Saludos.

[ffumanchu]

Hola

Primero de todo gracias por tu respuesta y la ayuda Luis. Sobre lo que comentas tengo dos pequeñas dudas:
1.- ¿Por qué el espacio proyectivo menos un hiperplano es equivalente al espacio afín? Pensaba que esto solo se daba cuando el hiperplano en cuestión era el hiperplano del infinito.

Pero el hiperplano del infinito es una elección puede ser cualquiera. Mediante un cambio de referencia proyectiva puedes llevar cualquier hiperplano al de ecuación \( x_0=0 \) ó \( x_n=0 \).

2.- En la conclusión, ¿por qué puedo afirmar que la inmersión de Veronesse lleva ese complementario, en particular, en una variedad afín y no en un abierto o un cerrado no irreducible?

Aquí no estoy seguro de cual es tu duda. El conjunto \( \Bbb P^n-Z \) es irreducible porque su clausura es irreducible; y una inmersion lleva irreducibles en irreducibles. Y la imagen es cerrada en \( \Bbb P^N-X \) porque es la intersección de ese conjunto con un cerrado: la la variedad de Veronesse \( Im(\phi_{n,d}) \).

Saludos.

Estupendo ahora me queda más claro. Muchas gracias, Luis.