Hola;
Mi consulta es la siguiente:
...
Lo que quiero decir es que si existen otros pares de \( x_1 \)y \( x_2 \) que cumplan con la condición y sin embargo no sean raíces del polinomio de 2º grado, ¿o bien esos valores son únicos?
Si \( x_1,x_2 \) son soluciones de la ecuacón \( ax^2+bx+c=0 \) entonces verifican las ecuaciones de Cardano-Vieta y recíprocamente, si \( x_1,x_2 \) verifican las ecuaciones de Cardano-Vieta, éstas son soluciones de la ecuación \( ax^2+bx+c=0 \).
Basta con resolver el sistema no lineal y comprobar que tanto \( x_1 \) como \( x_2 \) cumplen la ecuación de segundo grado:
\( x_2=\dfrac{c}{ax_1}\Longrightarrow x_1+\dfrac{c}{ax_1}=-\dfrac{b}{a}\Longrightarrow ax_1^2+c=-bx_1\Longrightarrow ax_1^2+bx_1+c=0 \).
Por otro lado, \( ax_2^2+bx_2+c=a\left(\dfrac{c}{ax_1}\right)^2+b\left(\dfrac{c}{ax_1}\right)+c=c\left(\dfrac{c}{ax_1^2}+\dfrac{b}{ax_1}+1\right)=\dfrac{c(ax_1^2+bx_1+c)}{ax_1^2}=0 \)
He supuesto, sin pérdida de generalidad, que es \( x_1\neq 0 \).
Añadido:Otra forma más breve es la siguiente:
Si \( x_1, x_2 \) verifican las ecuaciones de Cardano-Vieta
\( \left\{\begin{array}{l}x_1+x_1=-\dfrac{b}{a}\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}\end{array}\right. \) donde es \( a\neq 0 \),
entonces \( x_1,x_2 \) son soluciones de la ecuación de segundo grado
\( ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2=0 \), es decir, de la ecuación
\( ax^2+bx+c=0 \).
En efecto,
\( ax_1^2-a(x_1+x_2)x_1+ax_1x_2=\cdots =0\,\,\, \) y
\( ax_2^2-a(x_1+x_2)x_2+ax_1x_2=\cdots =0 \)
Saludos
