Supongamos que \( P(X_i=x_i)=1/x_i \) y \( P(X_i=0)=1-1/x_i \) con \( 1<x_i\leq{}n+1. \) Sea \( S_n=X_1+...+X_n \) y todas la variables son independientes. Analizar la probabilidad \( P(S_n<1+n) \) es equivalente a \( P(\displaystyle\sum_{i=1}^n{\lambda_iY_i}<\displaystyle\frac{1+n}{\lambda}) \) siendo \( \lambda=\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i} \) y \( \lambda_i=\displaystyle\frac{x_i}{\lambda}. \) Es decir \( Y_i=\displaystyle\frac{X_i}{x_i} \) es una variable aleatoria Bernoulli con probabilidad de èxito \( p_i=1/x_i. \) Ahora, supongamos que las \( x_i=z \) entonces la probabilidad original se puede expresar como \( P(\displaystyle\sum_{i=1}^n{\displaystyle\frac{Z_i}{n}<\displaystyle\frac{1+n}{nz}}) \) y las \( Z_i \) serían variables aleatorias Bernoulli con probabilidad de éxito \( p=1/z. \) Mi pregunta es si existe algún \( z \) tal que:
\( P(\displaystyle\sum_{i=1}^n{Z_i}<\displaystyle\frac{1+n}{z})=P(\displaystyle\sum_{i=1}^n{\displaystyle\frac{Z_i}{n}<\displaystyle\frac{1+n}{nz}})\leq{}P(\displaystyle\sum_{i=1}^n{\lambda_iY_i}<\displaystyle\frac{1+n}{\lambda}) \).
Leí que una Bernoulli con \( p=\displaystyle\sum_{i=1}^n{p_i/n}=p_1=p_2=...=p_n \) es, dada una media, como que tiene una distribución más amplia y el resultado debería cumplirse.
Probabilidades con combinaciones convexas de Bernoulli vi una discusión aquí
https://mathoverflow.net/questions/278117/convex-combination-iid-bernoulli-random-variablesY un artículo adjunto.
Ahora, pensando si tomo \( z=n+1 \) entonces el lado izquierdo de la desigualdad me queda \( P(Z_1+...+Z_n<1)=P(Z_1+...+Z_n=0)=(\displaystyle\frac{n}{n+1})^n. \)
