[marek]

¿Cómo saber si la integral converge o diverge?
\( \int\limits_{\scriptsize 0}^{\scriptsize 4}{\frac{\sqrt{x}}{\ln\left(1+3\,x\right)}}{\;\mathrm{d}x}
 \)

[Fernando Revilla]

¿Cómo saber si la integral converge o diverge?
\( \int\limits_{\scriptsize 0}^{\scriptsize 4}{\frac{\sqrt{x}}{\ln\left(1+3\,x\right)}}{\;\mathrm{d}x}
 \)

La integral dada \( I \) es

        \( I=\underbrace{\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{x}}{\log (1+3x)}dx}_{I_1}+\underbrace{\displaystyle\int_{1}^{4}\frac{\sqrt{x}}{\log (1+3x)}dx}_{I_2} \)

Entonces, \( I_2 \) es integral propia y por tanto convergente. La integral \( I_1 \) es impropia en \( x=0 \). Usa el teorema del problema 6 de https://fernandorevilla.es/2015/04/05/integrales-impropias-en-intervalos-finitos/ con \( p=1/2 \) y obtendrás que \( I_1 \) es convergente. 

[Fernando Revilla]

  Bueno, estaba algo aburrido y acabo de incluir la resolución completa en el mismo enlace https://fernandorevilla.es/2015/04/05/integrales-impropias-en-intervalos-finitos/ (problema 11).

[Juan Pablo Sancho]

Algo parecido:
\( t = \sqrt{x} \) entonces:
\( \displaystyle \int_0^4 \dfrac{\sqrt{x}}{ln(1+3x)} \ dx = \dfrac{2}{3} \cdot \int_0^2 \dfrac{3t^2}{ln(1+3t^2)} \ dt  \) función acotada y continua excepto un punto.