[zorropardo]

Si $$A \subset{\mathbb{R}}$$ es abierto entonces $$A \cap \overline{X} \subset \overline{A \cap X}.$$

Sea $$a \in A \cap \overline{X} \Rightarrow{   a \in A   \wedge     a \in \overline{X}}.$$ Como $$A$$ es abierto, existe  $$\epsilon_{1}>0$$ tal que $$I_{\epsilon_{1}}(a) \subseteq{A}$$ y tambien por definicion de cerrado $$I_{\epsilon}(a) \cap X \neq \emptyset, \forall \epsilon>0.$$

Como $$I_{\epsilon_{1}}(a) \subset{A} \Rightarrow{   I_{\epsilon_{1}}(a) \cap A \neq \emptyset }.$$ Tomando $$\epsilon=\epsilon_{1}$$ tenemos

$$ I_{\epsilon_{1}}(a) \cap A \neq \emptyset$$ y $$I_{\epsilon_{1}}(a) \cap X \neq \emptyset \Rightarrow{   I_{\epsilon}(a) \cap A \cap X \neq \emptyset }
 \Rightarrow{ a \in \overline{A \cap X}}.$$ Esta bien 

[ani_pascual]

Hola:

Si $$A \subset{\mathbb{R}}$$ es abierto entonces $$A \cap \overline{X} \subset \overline{A \cap X}.$$

Sea $$a \in A \cap \overline{X} \Rightarrow{   a \in A   \wedge     a \in \overline{X}}.$$ Como $$A$$ es abierto, existe  $$\epsilon_{1}>0$$ tal que $$I_{\epsilon_{1}}(a) \subseteq{A}$$ y tambien por definicion de cerrado
...
Esta bien 

Otra posible redacción...
¿Te referías a definición de clausura, cierre o adherencia?
Ten en cuenta que \( \forall\,\varepsilon>0 \) se tiene que \( I_{\varepsilon}(a)\cap I_{\varepsilon_1}(a) \) es un entorno de \( a \) y como es \( a\in \overline{X} \) se tiene \(  I_{\varepsilon}(a)\cap I_{\varepsilon_1}(a)\cap X\neq \emptyset \Longleftrightarrow I_{\varepsilon}(a)\cap I_{\varepsilon_1}(a)\cap A\cap X\neq \emptyset\Longrightarrow I_{\varepsilon}(a)\cap A\cap X\neq \emptyset \Longrightarrow a\in\overline{A\cap X} \)
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Otra posible redacción...
¿Te referías a definición de clausura, cierre o adherencia?
Ten en cuenta que \( \forall\,\varepsilon>0 \) se tiene que \( I_{\varepsilon}(a)\cap I_{\varepsilon_1}(a) \) es un entorno de \( a \) y como es \( a\in \overline{X} \) se tiene \(  I_{\varepsilon}(a)\cap I_{\varepsilon_1}(a)\cap X\neq \emptyset \Longleftrightarrow I_{\varepsilon}(a)\cap I_{\varepsilon_1}(a)\cap A\cap X\neq \emptyset\Longrightarrow I_{\varepsilon}(a)\cap A\cap X\neq \emptyset \Longrightarrow a\in\overline{A\cap X} \)

Subrayar que tal como lo ha redactado ani_pascual está bien; pero como lo habías hecho zorropardo, no es correcto. El problema de tu redacción es que tu necesitas probar que para todo \( \epsilon>0 \), \( I_\epsilon(a)\cap A\cap X\neq \emptyset \), pero tal como lo has redactado tomas \( \epsilon=\epsilon_1 \) que es un valor prefijado por la propiedad de \( A \) de ser abierto.

Saludos.

[Fernando Revilla]

Es una pena la multitud de problemas con los que se tortura sistemáticamente   al bueno de zorropardo limitados a  \( \mathbb{R} \) con la topología usual. Por ejemplo, en el problema de este hilo tendríamos:

Demostrar que en cualquier espacio topológico \( X \) para \( A,B \) subconjuntos de \( X \) con \( A \) abierto se verifica \( A \cap \overline{B} \subset \overline{A \cap B}. \)

Entonces, si \( x\in A\cap \color{red}\overline {\color{black}B} \) y \( G \) es cualquier abierto que contiene a \( x \), entonces \( G\cap A \) también es abierto que contiene a \( x \) y al pertenecer \( x \) a la adherencia de \( B \) se verifica \( (\underbrace{G\cap A)\cap B}_{=G\cap (A\cap B)}\ne \emptyset \) lo cual implica \( x\in \overline{A \cap B} \).

Entonces, mi opinión:

1. Si en el programa que se le da a zorropardo la topología en \( \mathbb{R} \) se usa exclusivamente para formalizar el cálculo de una variable, el número de ejercicios propuestos es exagerado.
2. Si se va más lejos también lo es, pues algunas generalizaciones son más limpias y claras que los casos particulares.

[ani_pascual]

Hola:

...
Entonces, si \( x\in A\cap\textcolor{blue}{\overline{ B}} \) y \( G \) es cualquier abierto que contiene a \( x \), entonces \( G\cap A \) también es abierto que contiene a \( x \) y al pertenecer \( x \) a la adherencia de \( B \) se verifica \( (\underbrace{G\cap A)\cap B}_{=G\cap (A\cap B)}\ne \emptyset \) lo cual implica \( x\in \overline{A \cap B} \).
...

Estoy de acuerdo; muchos de sus ejercicios son resultados que se pueden generalizar a espacios topológicos arbitrarios y en su resolución, la particularidad de la topología usual de \( \mathbb{R} \) no aporta mucho, creo yo. 
Me ha parecido ver una erratilla 
Saludos

[Fernando Revilla]

.. si \( x\in A\cap\textcolor{blue}{\overline{ B}} \)

Me ha parecido ver una erratilla 

Corrected. Thanks .

[zorropardo]

Gracias por las respuestas y comentarios, fueron de valiosa ayuda.