[Nub]

El teorema general es asi o es asi: si \( f,g:[1,+\infty)\to \mathbb{R} \)  entonces, \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}f(x)=L\Rightarrow \lim_{n \to{+}\infty}=L \)

Sería:

Proposición. Sea \( F:[1,+\infty)\to \mathbb{R} \)  y consideremos la sucesión \( a_n=F(n) \).Entonces,

        \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}F(x)=L\Rightarrow \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}a_n=L. \)

Demostración. Si \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}F(x)=L \) entonces, para todo \( \epsilon > 0 \) existe \( x_0 \) tal que si \( x> x_0 \) se verifica \( |f(x)-L|< \epsilon \) con lo cual para todo \( \epsilon > 0 \) si \( n> \lfloor x_0\rfloor +1 \) se verifica \( |F(n)-L|< \epsilon \) o bien \( |a_n-L|<\epsilon \) es decir \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}a_n=L \).

Ejemplo. Calcular \( \displaystyle\lim_{n\to{+}\infty}\displaystyle\frac{\sin (1/n)}{1/n} \) usando la proposición anterior.

Solución. Llamemos \( F(x)=\displaystyle\frac{\sin (1/x)}{1/x} \). Entonces

        \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}F(x)=\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{\sin (1/x)}{1/x}=\left\{{\displaystyle\frac{0}{0}}\right\}\underbrace{=}_{\text{L'Hopital}}\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{(-1/x^2)\cos (1/x)}{-1/x^2}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\cos (1/x)=\cos 0=1 \)

Usando la proposición anterior,

        \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{F(n)}=\displaystyle\lim_{n\to{+}\infty}\displaystyle\frac{\sin (1/n)}{1/n}=1 \).

Nota. Todo lo anterior prueba que para calcular límites de sucesiones es lícito aplicar la regla de L'Hopital en condiciones como las anteriores.   

¿Se podria decir que para el calculo de limites de sucesiones es practicamente lo mismo que el calculo de limites de funciones? ¿Hay algún detalle que pueda hacer que el calculo quede mal o algo? porque si es asi, en calculo de limites de sucesiones no tengo que aprender nada nuevo, ya lo se de funciones

[Luis Fuentes]

Hola

 Como comentario general yo soy partidario de entender las cosas y los resultados y entonces su aplicación resultará muy natural; no me gustan mucho simplificar todo en afirmaciones muy generales, como buscando una receta mágica. Dicho esto...

¿Se podria decir que para el calculo de limites de sucesiones es practicamente lo mismo que el calculo de limites de funciones? ¿Hay algún detalle que pueda hacer que el calculo quede mal o algo? porque si es asi, en calculo de limites de sucesiones no tengo que aprender nada nuevo, ya lo se de funciones

 Pues desde luego como te ha dicho Fernando si sabes mediante teoría de funciones calcular el límite \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}f(x) \) y este existe, entonces automáticamente de regalo tienes el límite de la sucesión \( a_n=f(n) \).

 Sin embargo puede ocurrir que el límite de la función no exista, pero el de la sucesión si. Por ejemplo si tomas \( f(x)=sin(x\cdot \pi) \), no existe \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}f(x) \), pero

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}f(n)=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}sin(n\cdot \pi)=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}0=0 \)

Saludos.

CORREGIDO (gracias ani_pascual)

[Nub]

Hola

 Como comentario general yo soy partidario de entender las cosas y los resultados y entonces su aplicación resultará muy natural; no me gustan mucho simplificar todo en afirmaciones muy generales, como buscando una receta mágica. Dicho esto...

Lo que pasa que lo que estoy leyendo como que no se centro en el calculo de limites de sucesiones, dio la definicion, algun ejemplo de demostración por definición y luego salto a otras cosas como subsuceciones y teorema de Bolzano-Weierstrass, por lo tanto si alguna vez me encuentro con que debo calcular un limite de sucesiones tengo una idea de como hacerlo

Sin embargo puede ocurrir que el límite de la función no exista, pero el de la sucesión si. Por ejemplo si tomas \( f(x)=sin(x\cdot \pi) \), no existe \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}f(x) \), pero

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}f(n)=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}sin(n\cdot \pi)=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}0=0 \)

Buen ejemplo Luis, me salvaste, estaba pensando las sucesiones como funciones y me preguntaba porque ese limite de sucesiones da 0 si "oscilaba" pero es que la sucesion es 0,0,0...0 pues \( sin(\pi n)=0\forall{n\in{\mathbb{N}}} \)

[ani_pascual]

Hola:

...
 Porque sino no se como probarlo :'(

Otra forma puede ser usando la regla del sandwich.
Si consideramos un sector circular de radio \( R \) y ángulo central \( \dfrac{1}{n} \) radianes, se ve que su área está comprendida entre las áreas de dos triángulos rectángulos:

\( \dfrac{R^2\cos(\frac{1}{n})\sin(\frac{1}{n})}{2}<\dfrac{R^2}{2n}<\dfrac{R^2\tan(\frac{1}{n})}{2}\Longrightarrow  \dfrac{\sin(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}<\dfrac{1}{\cos(\frac{1}{n})}<\dfrac{\sin(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}},\,\,\forall\,n\in\mathbb{N} \).
Así, como \( \lim\limits_{n\to\infty}\cos(\frac{1}{n})=1 \), ya que la función coseno es continua, se deduce que \( \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sin(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}\leq 1\leq \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sin(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}} \).
En definitiva, \( \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sin(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}=1 \) y las sucesiones \( \{\sin (\frac{1}{n})\} \) y \( \{\frac{1}{n}\} \) son equivalentes.
Saludos

[Nub]

Hola ani_pascual en el anterior mensaje tuyo me olvide de decir que todavia no llegue a ese resultado , por lo tanto no lo podria usar.

Hola:

...
 Porque sino no se como probarlo :'(

Otra forma puede ser usando la regla del sandwich.
Si consideramos un sector circular de radio \( R \) y ángulo central \( \dfrac{1}{n} \) radianes, se ve que su área está comprendida entre las áreas de dos triángulos rectángulos:

\( \dfrac{R^2\cos(\frac{1}{n})\sin(\frac{1}{n})}{2}<\dfrac{R^2}{2n}<\dfrac{R^2\tan(\frac{1}{n})}{2}\Longrightarrow  \dfrac{\sin(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}<\dfrac{1}{\cos(\frac{1}{n})}<\dfrac{\sin(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}},\,\,\forall\,n\in\mathbb{N} \).
Así, como \( \lim\limits_{n\to\infty}\cos(\frac{1}{n})=1 \), ya que la función coseno es continua, se deduce que \( \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sin(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}\leq 1\leq \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sin(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}} \).
En definitiva, \( \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sin(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}=1 \) y las sucesiones \( \{\sin (\frac{1}{n})\} \) y \( \{\frac{1}{n}\} \) son equivalentes.
Saludos

Entiendo, no era la idea pero bueno

¡Gracias a todos!

[ani_pascual]

Hola:

Hola.
Def: Dos sucesiones \( a_n \) y \( b_n \)  son equivalentes
sii \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a_n}{b_n}}=1 \)

1) ¿Poruqe \( a_n=sin(1/n) \) y \( b_n=1/n \) son equivalentes?
Tengo anotado que es porque \( sin(x)\sim{x} \) cuando \( x\rightarrow{0} \)
...

Entonces... como \( 1/n\rightarrow{0} \) luego como sin es una funcion de reales a reales entonces al ponerle como entrada numeros de la forma 1/n sigue siendo una funcion de reales en reales entonces puedo usar la propiedad \( sin(x)\sim{x} \) cuando \( x\rightarrow{0} \) ¿Es ese el argumento? ...

Aunque quizás sea redundante,  diría que ese argumento, con algunos matices, es válido, es decir, si \( \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1 \) entonces para toda sucesión \( \{x_n\}\subset\mathbb{R}\setminus\{0\} \) tal que \( \lim\limits_{n\to\infty}x_n=0 \) se verifica que \( \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\sin x_n}{x_n}=1 \).
En general, si \( \lim\limits_{x\to x_0}g(x)=L \), siendo \( g:D\longrightarrow \mathbb{R} \) una función de dominio \( D\subset\mathbb{R} \), con \( x_0\in\overline{D} \), entonces para toda sucesión \( \{x_n\}\subset D\setminus\{x_0\} \) tal que \( \lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_0 \) se verifica que \( \lim\limits_{n\to \infty}g(x_n)=L \); en efecto, dado \(  \varepsilon >0,  \) existe \( \delta >0 \) tal que \( x\in D,0<|x-x_0|<\delta\Longrightarrow |g(x)-L|<\varepsilon \), luego como existe  \( n_0\in\mathbb{N} \) tal que \( \forall\,n\geq n_0 \) es \( 0<|x_n-x_0|<\delta \), se tiene que \( \forall\,n\geq n_0,\,\,|g(x_n)-L|<\varepsilon \), es decir, \( \lim\limits_{n\to \infty}g(x_n)=L \).

 ... si sabes mediante teoría de funciones calcular el límite \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}f(x) \) y este existe, entonces automáticamente de regalo tienes el límite de la sucesión \( a_n=\textcolor{red}{f_n(x)} \).

 Sin embargo puede ocurrir que el límite de la función no exista, pero el de la sucesión si. ...

¿No será \( a_n=f(n) \)? o \( a_n=f(x_n) \) con \( \lim\limits_{n\to\infty }x_n=\infty \)?

Saludos