[zorropardo]

Si $$X$$ es limitado superiormente , entonces $$\bar{X}$$ tambien lo es. Ademas $$ sup(X)=sup(\bar{X}).$$

Como $$X  \subseteq{ \bar{X} }  \Rightarrow{        sup(X)  \leq sup(\bar{X})   }.$$ como puedo mostrar la otra desigualdad 

[Masacroso]

Disculpa zorropardo, te he movido el tema a la sección de análisis matemático porque cuestiones referentes al supremo o al orden no suelen verse en topología, sino más bien en otras ramas de las matemáticas, usualmente en análisis.

Ahora, respecto a tu pregunta: para completar yo tomaría una sucesión \( (x_n) \) de elementos de \( X \) que converja a \( \bar s:=\sup \bar X \) (sabiendo, o habiendo demostrado de antemano, que \( \bar s \in \bar X \) porque \( \bar X \) es cerrado y el supremo siempre es un punto límite o un punto aislado del conjunto al que acota, y en este último caso entonces \( \bar s\in X \)), entonces usando la definición de supremo tienes que \( x_n\leqslant \sup X \) para cada \( n\in \mathbb{N} \) luego...

Nota: hay que asumir que \( X\neq \emptyset  \) (ya que se podría suponer que \( \emptyset  \) es limitado superiormente por cualquier número real, todo depende de la definición precisa de "limitado superiormente" de este contexto). Si \( X=\emptyset  \) entonces, usualmente, se define \( \sup X=-\infty  \), aunque esto es sólo una convención usual, y en tal caso \( X=\bar X \) luego no habría nada que demostrar usando tal convención.

Corregido.

[ani_pascual]

Hola:

Si $$X$$ es limitado superiormente , entonces $$\bar{X}$$ tambien lo es. Ademas $$ sup(X)=sup(\bar{X}).$$

Como $$X  \subseteq{ \bar{X} }  \Rightarrow{        sup(X)  \leq sup(\bar{X})   }.$$ como puedo mostrar la otra desigualdad 

Sea \( x\in\overline{X}\Longrightarrow \exists\, \{x_n\}\subset X \) tal que \( \{x_n\}\longrightarrow x \)
Así \( \forall\,\varepsilon >0 \) existe \( n \) tal que \( |x-x_n|<\varepsilon\Longrightarrow x<x_n+\varepsilon\leq sup(X)+\varepsilon\Longrightarrow x<sup(X). \) y como \( x\in\overline{X} \) es arbitrario, se tiene que \( sup(\overline{X})\leq sup(X) \)
Supongo que si \( X \) no está acotado superiormente es \( sup(X)=\infty \) en cuyo caso es también \( sup(X)=sup(\overline{X}) \)
Saludos

[zorropardo]

Hola, para probar la parte que $$\overline{X}$$ es acotada superiormente , seria asi:

Como $$X$$ es acotada superiormente entonces existe $$\alpha \in \mathbb{R}$$ tal que $$x \leq{\alpha}$$ para todo $$x \in X.$$

Sea $$a \in \overline{X} \Rightarrow{ \exists{  (x_{n}) \subset{X} }  }$$ tal que $$x_{n} \rightarrow{a}.$$ Dado $$\epsilon>0$$ existe $$n_{0} \in \mathbb{N}$$ tal que si $$n \geq{n_{0}} \rightarrow{|x_{n}-a|<\epsilon.  }$$

Asi  $$a-\epsilon< x_{n} \leq{\alpha} \Rightarrow{   a < \epsilon+\alpha}; \forall \epsilon>0$$ esto es $$a \leq{ \alpha }; \forall a \in \overline{X}.$$

Por tanto $$\overline{ X}$$ es acotada superiormente  Esta bien   

[ani_pascual]

Hola:

... Esta bien   

Lo veo bien
Saludos

[Masacroso]

Hola, para probar la parte que $$\overline{X}$$ es acotada superiormente , seria asi:

Como $$X$$ es acotada superiormente entonces existe $$\alpha \in \mathbb{R}$$ tal que $$x \leq{\alpha}$$ para todo $$x \in X.$$

Sea $$a \in \overline{X} \Rightarrow{ \exists{  (x_{n}) \subset{X} }  }$$ tal que $$x_{n} \rightarrow{a}.$$ Dado $$\epsilon>0$$ existe $$n_{0} \in \mathbb{N}$$ tal que si $$n \geq{n_{0}} \rightarrow{|x_{n}-a|<\epsilon.  }$$

Asi  $$a-\epsilon< x_{n} \leq{\alpha} \Rightarrow{   a < \epsilon+\alpha}; \forall \epsilon>0$$ esto es $$a \leq{ \alpha }; \forall a \in \overline{X}.$$

Por tanto $$\overline{ X}$$ es acotada superiormente  Esta bien   

Está "bien" siempre que aclares que cuando dices "\( \exists (x_n)\subset X \)" te refieres simplemente a una sucesión de elementos de \( X \), porque la notación \( (x_n)\subset X \) podría entenderse de otra manera en la cual el resultado no sería cierto (por ejemplo cuando \( a \) es punto aislado de \( X \) y \( (x_n)\subset X \) se entiende como subconjunto indexado).