[GauciscInk]

Buen día a todos.
Se pide calcular la derivada de la función \(f:M_{n\times n}\to M_{n\times n}\) donde \(M_{n\times n}\) es el espacio vectorial de matrices de tamaño \(n\) con entradas reales, y la función está dada por \(f(X)=X^2 \).

[Fernando Revilla]

Se pide calcular la derivada de la función \(f:M_{n\times n}\to M_{n\times n}\) donde \(M_{n\times n}\) es el espacio vectorial de matrices de tamaño \(n\) con entradas reales, y la función está dada por \(f(X)=X^2 \).

No me encaja la notación. Interpreto que denotando  \( \mathcal M=\left\{{X=[x_{ij}(t)]_{n\times n}:x_{ij}(t)\in C^{\infty}(\mathbb{R})}\right\} \) se pide la derivada de \( f:\mathcal M\to \mathcal M \) dada por \( f(X)=X^2 \) en cuyo caso, y usando un conocido resultado de análisis matricial, \( f^\prime (X)=X^\prime X+XX^\prime \).

[ani_pascual]

Hola:

Buen día a todos.
Se pide calcular la derivada de la función \(f:M_{n\times n}\to M_{n\times n}\) donde \(M_{n\times n}\) es el espacio vectorial de matrices de tamaño \(n\) con entradas reales, y la función está dada por \(f(X)=X^2 \).

Si no me equivoco...
si trabajas en el espacio normado de las matrices cuadradas de orden \( n \) y consideras la derivada de Gâteaux, entonces dada una matriz no nula \( Y \), la derivada de Gâteaux de la aplicación \( f \) en la matriz \( X \) y en la dirección de \( Y \) es \( f'(X)\textcolor{blue}{(Y)}=XY+YX \).
En efecto, \( f'(X)\textcolor{blue}{(Y)}=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{f(X+tY)-f(X)}{t}=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{(X+tY)^2-X^2}{t}=\lim\limits_{t\to 0}(XY+YX+tX^2)=XY+YX \)
En la dirección de \( Y=I \) sería \( f'(X)=2X \)

Pues me he equivocado...
Me he liado con el codominio de la función \( f \), así que lo anterior está mal. 

Ni caso al comentario en rojo. 
Es correcto lo anterior.
Saludos

[ani_pascual]

Hola:

No obstante, me parece que si se considera la diferencial  en sentido de Fréchet sí sería \( Df(X) \) la aplicación lineal y continua \( Df(X):{\cal M}_n\longrightarrow {\cal M}_n \) dada por \( Df(X)(Y)=XY+YX \) pues verifica que \( \lim\limits_{Y\to O}\dfrac{\|f(X+Y)-f(X)-L(Y)\|}{\|Y\|}=0
 \) ya que
\( \lim\limits_{Y\to O}\dfrac{\|(X+Y)^2-X^2-(XY+YX)\|}{\|Y\|}=\lim\limits_{Y\to O}\dfrac{\|Y^2\|}{\|Y\|}=0 \)
Se cumpliría que \( Df(X)(I)=2X \)
Saludos

[Fernando Revilla]

No obstante, me parece que si se considera la diferencial  en sentido de Fréchet sí sería \( Df(X) \) la aplicación lineal y continua \( Df(X):{\cal M}_n\longrightarrow {\cal M}_n \) dada por \( Df(X)(Y)=XY+YX \)

Si el enunciado se refiere a hallar la derivada de Frechet entre espacios de Banach de la aplicación \( f:\mathbb{R}^{n\times n}\to \mathbb{R}^{n\times n}  \) dada por \( f(X)=X^2 \), entonces, la solución es efectivamente como dices, la aplicación \( f^\prime (X) :\mathbb{R}^{n\times n}\to \mathbb{R}^{n\times n}  \) dada por \( f^\prime (X)(Y)=XY+YX \).

[ani_pascual]

Hola:

...
Si el enunciado se refiere a hallar la derivada de Frechet entre espacios de Banach de la aplicación \( f:\mathbb{R}^{n\times n}\to \mathbb{R}^{n\times n}  \) dada por \( f(X)=X^2 \), entonces, la solución es ...

Gracias por la aclaración; tenía mis dudas... .
Esto de andar especulando sobre el sentido de las preguntas... forma parte del oficio   
Saludos

[Fernando Revilla]

Gracias por la aclaración; tenía mis dudas... .  Esto de andar especulando sobre el sentido de las preguntas... forma parte del oficio   

Mala parte del oficio . El lenguaje matemático es lo suficiente preciso para que la dificultad de una resolución sea de la propia resolución no de la interpretación del enunciado.

P.D. No es una crítica a GauciscInk, pues no sé exactamente cual es el enunciado original. 

[Luis Fuentes]

Hola

P.D. No es una crítica a GauciscInk, pues no sé exactamente cual es el enunciado original.

De hecho, el enunciado original podría ser en lo esencial como lo escribió  GauciscInk, sin que por ello sea un "mal" enunciado. Si el ejercicio forma parte de una colección de problemas de un libro o asignatura, el contexto que falta posiblemente lo aporta el propio libro o asignatura.

Saludos.

[Masacroso]

Otra forma, algo más larga pero puede resultar clarificadora: si \( p:M_{n\times n}\times M_{n\times n}\to M_{n\times n},\, (X,Y)\mapsto XY \) entonces \( p \) es bilineal, y por otro lado se puede demostrar que si \( g:A^n\to B \) es una función multilineal, y \(A\) y \(B\) son espacios de Banach, entonces su derivada de Fréchet viene dada por

\( \displaystyle{
\partial g(\mathbf{v})\mathbf{h}=\sum_{k=1}^n g(v_1,\ldots ,v_{k-1},h_k,v_{k+1},\ldots ,v_n)\tag1
} \)

para \( \mathbf{v}=(v_1,\ldots,v_n ) \) y \( \mathbf{h}=(h_1,\ldots,h_n ) \). Entonces podemos escribir \( f=p\circ d \) para \( d:M_{n\times n}\to M_{n\times n}\times M_{n\times n},\, X\mapsto (X,X) \) y por tanto usando la regla de la cadena nos queda que

\( \displaystyle{
\partial f(X)Y=(\partial p\circ d)(X)\partial d(X)Y=\partial p(X,X)(Y,Y)=p(X,Y)+p(Y,X)=XY+YX\tag2
} \)

ya que \( d \) es función lineal y por tanto aplicando (1) tenemos que \( \partial d(Z)=d \) para todo \( Z \).