[alejaaa]

Demostrar que el siguiente problema de valor inicial admite una única solución que está definida en todo \(\mathbb{R}\):

\begin{cases}{y' = 2y + \frac{e^x}{1+e^x} \frac{y}{4 + y^2}}\\{y(1)=1}\end{cases}

Se como puedo demostrar la existencia y unicidad de una solucion en un entorno de (1,1) pero no se como puedo extenderlo a todo \(\mathbb{R}\).

Gracias de antemano.

[Fernando Revilla]

Demostrar que el siguiente problema de valor inicial admite una única solución que está definida en todo \(\mathbb{R}\):

\begin{cases}{y' = 2y + \frac{e^x}{1+e^x} \frac{y}{4 + y^2}}\\{y(1)=1}\end{cases}

Se como puedo demostrar la existencia y unicidad de una solucion en un entorno de (1,1) pero no se como puedo extenderlo a todo \(\mathbb{R}\).

¿Has intentado aplicar el teorema de Picard tal como lo aplicó aquí ani_pascual?  https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=128229.msg528308#msg528308

[alejaaa]

Demostrar que el siguiente problema de valor inicial admite una única solución que está definida en todo \(\mathbb{R}\):

\begin{cases}{y' = 2y + \frac{e^x}{1+e^x} \frac{y}{4 + y^2}}\\{y(1)=1}\end{cases}

Se como puedo demostrar la existencia y unicidad de una solucion en un entorno de (1,1) pero no se como puedo extenderlo a todo \(\mathbb{R}\).

¿Has intentado aplicar el teorema de Picard tal como lo aplicó aquí ani_pascual?  https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=128229.msg528308#msg528308

He calculado las iteradas de Picard y me ha dado \( y(x)=0 \) como solución de la EDO, pero no sé si esa es la única solución del PVI definida en todo \(\mathbb{R}\)

[ani_pascual]

Hola:

...
\( y(x)=0 \) como solución de la EDO, pero no sé si esa es la única solución del PVI definida en todo \(\mathbb{R}\)

Pero ¿no ha de verificar  \( y(1)=1 \)?
Saludos

[alejaaa]

Hola:

...
\( y(x)=0 \) como solución de la EDO, pero no sé si esa es la única solución del PVI definida en todo \(\mathbb{R}\)

Pero ¿no ha de verificar  \( y(1)=1 \)?
Saludos

Gracias por corregirme. A la hora de calcular las iteradas no he añadido el termino \( y_0 \).
Ahora una vez tengo ya la solución \( y(x)=1 \), puedo decir que es única por el Teorema de Picard?

[ani_pascual]

Hola:

...
Ahora una vez tengo ya la solución \( y(x)=1 \), puedo decir que es única por el Teorema de Picard?

Pero... ¿ \(  y=1 \) es solución?
Sugerencia:
La función \( f(x,y)=2y+\dfrac{e^x}{1+e^x}\cdot\dfrac{y}{4+y^2} \) es continua en \( \mathbb{R}^2 \) y es Lipschitz en la segunda variable.
Saludos

[Fernando Revilla]

Gracias por corregirme. A la hora de calcular las iteradas no he añadido el termino \( y_0 \). Ahora una vez tengo ya la solución \( y(x)=1 \), puedo decir que es única por el Teorema de Picard?

Como te comenta ani_pascual, \( y(x)=1 \) no es solución del P.V.I. amén de que no te pide tal solución. Te recomiendo que revises completamente el enunciado.

[alejaaa]

Gracias por corregirme. A la hora de calcular las iteradas no he añadido el termino \( y_0 \). Ahora una vez tengo ya la solución \( y(x)=1 \), puedo decir que es única por el Teorema de Picard?

Como te comenta ani_pascual, \( y(x)=1 \) no es solución del P.V.I. amén de que no te pide tal solución. Te recomiendo que revises completamente el enunciado.

Tienes razón. Mezclé ideas de otro ejercicio que estaba haciendo.
Entonces como podria demostrar la existencia y unicidad de solución en este caso? Sabemos que \( f(x,y) \) es continua en \( \mathbb{R} \) y Lipschitz en la segunda variable por tanto existe una única solución en un entorno de (1,1) pero como puedo ver la existencia y unicidad en \( \mathbb{R} \).

[Fernando Revilla]

Tienes razón. Mezclé ideas de otro ejercicio que estaba haciendo.
Entonces como podria demostrar la existencia y unicidad de solución en este caso? Sabemos que \( f(x,y) \) es continua en \( \mathbb{R} \) y Lipschitz en la segunda variable por tanto existe una única solución en un entorno de (1,1) pero como puedo ver la existencia y unicidad en \( \mathbb{R} \).

Basta que uses como modelo la respuesta 4# de ani_pascual en https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=128229.msg528308#msg528308.