Hola:
Bienvenido al foro.
...
¿Podrían explicarme cómo abordar este tipo de ecuaciones y cómo determinar los diferentes casos según el discriminante?
Agradezco de antemano cualquier ayuda o guía que puedan ofrecer.
Un resumen puede ser el siguiente:
Si la EDO lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes es \( y''+by'+cy=0 \) la ecuación característica es \( \lambda^2+b\lambda+c=0 \). Su discriminante es
\( \Delta=b^2-4c \).
Hay dos casos:
a) \( \Delta\neq 0 \)
Existen dos raíces simples reales
o complejas,\( r_1=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4c}}{2},r_2=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4c}}{2} \) y la solución general de la EDO viene dada por \( y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x} \)
Si las raíces son complejas, \( r_1=\alpha+\beta i, r_2=\alpha -\beta i \) se puede expresar la solución general como \( y=C_1e^{\alpha x}\sin ( \beta x)+C_2e^{\alpha x}\cos (\beta x) \)b) \( \Delta= 0 \)
Existe una raíz real doble,\( r=\dfrac{-b}{2}, \) y la solución general de la EDO viene dada por \( y=C_1e^{rx}+C_2xe^{rx} \)
En el caso que propones...
\( y''-3y'+2y=0 \) la ecuación característica \( \lambda^2-3\lambda+2=0 \) tiene dos raíces reales simples, \( r_1=2,r_1=1 \) luego la solución general de la EDO es \( \boxed{y=C_1e^{2x}+C_2e^x} \)
Añadida corrección. Gracias Guli-Guli Saludos
