Hola:
Les cuento que pude encontrar el error en una derivada parcial. Ahora llego a que el único punto crítico es \( (1,1,2) \). Allí la distancia es mínima y es \( 6 \).
De todas formas, esto me hizo dar cuenta de que no sé cómo descartar puntos críticos usando este método. Así que si alguien puede ayudarme con eso les agradezco. Otra duda que tengo es:¿puedo usar lo puntos críticos que obtengo con Lagrange para calcular el Hessiano y determinar extremos de esa forma? ¿O esto último es totalmente inválido?
Me parece que existe un
criterio de la segunda derivada para extremos condicionados;
Wikipedia Si la matriz hessiana limitada
\( H=\left(\begin{array}{cccc}0&-g'_x&-g'_y&g'_z\\-g'_x&{\cal L}''_{xx}&{\cal L}''_{xy}&{\cal L}''_{xz}\\-g'_y&{\cal L}''_{yx}&{\cal L}''_{yy}&{\cal L}''_{yz}\\g'_z&{\cal L}''_{zx} &{\cal L}''_{zy}&{\cal L}''_{zz}\end{array}\right) \)
evaluada en un candidato a extremo condicionado cumple:
a) \( \Delta_1<0,\Delta_2<0 \), entonces es un mínimo condicionado
b) \( \Delta_1>0,\Delta_2<0 \), entonces es un máximo condicionado
c) Si \( \Delta_1\neq 0,\Delta_2\neq 0 \) pero no siguen los patrones anteriores, es un punto de silla
d) Si no se cumple niguno de los casos anteriores entonces el criterio no es concluyente
donde \( {\cal L}(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)-\lambda g(z,y,z) \) es la función lagrangiana y los \( \Delta_i \) son los determinantes de las submatrices en la diagonal de orden mayor o igual que tres (en este caso de orden tres y cuatro).
En tu caso \( H=\left(\begin{array}{rccr}0&-2x&-2y&-1\\-2x&2(1-\lambda)&0&0\\-2y&0&2(1-\lambda )&0\\-1&0 &0&2\end{array}\right) \) evaluada en \( (1,1,2,-4) \) queda
\( H=\left(\begin{array}{rrrr}0&-2&-2&-1\\-2&10&0&0\\-2&0&10&0\\-1&0 &0&2\end{array}\right) \) y como es \( \Delta_1=-80<0,\Delta_2=-170<0 \) resulta que \( (1,1,2) \) es el punto del paraboloide donde se alcanza la
mínima distancia al punto \( (5,5,0) \).
Saludos
