[Dorita]

Un cordial saludo a cada uno.
Espero se encuentren bien.

Tengo asignado este problema.

Considere un campo vectorial complejo con \(  \displaystyle f(t) \in \mathbb{C}^n \) cuya norma está definida como \(  \displaystyle<f,f> = \int_0^1 \bar{f}^T(\tau)f(\tau)d\tau \)

A) Demuestre que \(  \displaystyle <f,f>^{1/2} = ||f(t)||_2 \forall t\in [0,1] \)



El profesor me da esta pista:
Pista: \(  \displaystyle \left| \int_0^1\bar{f}^T(\tau)f(\tau)d\tau \right| \leq \left[\int_0^1\bar{f}^T(\tau)d\tau \right]^{1/2}\left[\int_0^1f(\tau)d\tau\right]^{1/2} \)

Pero yo no la utilizo, entonces, no sé qué estoy haciendo mal.



Este es mi trabajo.

La norma \( 2 \) de la función \( f(t) \in \mathbb{C}^n \) sobre \( [0,1] \)  se define por:
  \(  \displaystyle \|f(t)\|_2 = \left( \int_0^1 |f(\tau)|^2 \, d\tau \right)^{1/2} \)

Por otra parte, en un campo vectorial complejo \( \mathbb{C}^n \) cuyos elementos son funciones \( f(t) \) se define el complejo conjugado como:
\( \displaystyle ||f(t)||_2 = \left( \sum_{i=1}^n |f_i(t)|^2\right)^{1/2} \) donde \( |f_i(t)| \) es el módulo de \( f_i(t) \)

Entonces, el producto interno se puede escribir como:
\( \displaystyle \left< f, f\right> = \int_0^1 \sum_{i=1}^n |f_i(\tau)|^2 d\tau  \)

Por otra parte, la norma \( \| f(t)\|_2^2  \) se puede escribir como:
\( \displaystyle \| f(t)\|_2^2 = \sum_{i = 1}^n |f_i(t)|^2 \)

finalmente, integrando ambos lados de 0 a 1:
\( \displaystyle \int_0^1 \| f(t)\|_2^2 = \int_0^1 \sum_{i = 1}^n |f_i(t)|^2 \)

lo cual es equivalente a:
\( \displaystyle \int_0^1 \| f(t)\|_2^2 = \int_0^1 \sum_{i = 1}^n |f_i(t)|^2 = \int_0^1 \bar{f}^T(t)f(t)dt = <f, f> \)


Si me pueden ayudar, por favor, les agradeceré mucho.
Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola


 ¿Estás seguro que el enunciado e indicaciones son exactamente tal y cómo las has escrito?

 Hay varios detalles que me resultan extraños.

Tengo asignado este problema.

Considere un campo vectorial complejo con \(  \displaystyle f(t) \in \mathbb{C}^n \) cuya norma está definida como \(  \displaystyle<f,f> = \int_0^1 \bar{f}^T(\tau)f(\tau)d\tau \)

A) Demuestre que \(  \displaystyle <f,f>^{1/2} = ||f(t)||_2 \color{red}\forall t\in [0,1]\color{black} \)

Lo que te piden probar ya es extraño. Me llama la atención ese "pàra dodo \( t \). El término de la izquierda es un número constante; por el contrario el de la derecha pareciera que varía con el valor de \( t \) y en general no es constante. Es decir no sería cierta esa igualdad.

Tu has interpretado que lo de la derecha se refiere a \( \|f\|_2 \), es decir, la norma dos de la función en \( [0,1] \). En ese caso como bien indicas la igualdad es trivialmente cierta y tu demostración es correcta.

El profesor me da esta pista:
Pista: \(  \displaystyle \left| \int_0^1\bar{f}^T(\tau)f(\tau)d\tau \right| \leq \left[\int_0^1\bar{f}^T(\tau)d\tau \right]^{1/2}\left[\int_0^1f(\tau)d\tau\right]^{1/2} \)

Esa expresión es también algo chocante. Los integrandos de los términos de la derecha son funciones vectoriales; no tengo muy claro que significado pretende dar a la integral correspondiente.

Saludos.

[Dorita]

Hola Luis,

Sí, lo copié bien, me aseguré de ello antes de publicar.
Tengo un profesor especial  :'(  y necesito ayuda; ahora usted me la ha brindado, por eso muchas gracias 

Saludos

[ani_pascual]

Hola:

...


Si me pueden ayudar, por favor, les agradeceré mucho.

¿no se referirá a \( <g,f>=\displaystyle\int_0^1\bar{g}^T(t)f(t)\,dt \)? ... en cuyo caso
\( <f,f>^{\frac{1}{2}}=\left(\displaystyle\int_0^1\bar{f}^T(t)f(t)\,dt\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\displaystyle\int_0^1\sum\limits_{j=1}^n\overline{f_j(t)}f_j(t)\,dt\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\displaystyle\int_0^1\sum\limits_{j=1}^n|f_j(t)|^2\,dt\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\displaystyle\int_0^1\|f(t)\|_2^2\,dt\right)^{\frac{1}{2}}=\|f\|_2 \)
Respecto a la pista del profesor, parece que se refiere a la desigualdad de Cauchy-Schwarz:
\( |<g,f>|^2\leq \,\,<g,g><f,f> \), aplicado a \( g=f \), pero creo que no se utiliza, o sí, ya que
cuando \( g \) y \( f \) son linealmente dependientes se tiene la igualdad, y así, tomando \( g=f \) se tiene
\( |<f,f>|^2=<f,f><f,f>\Longrightarrow |<f,f>|=<f,f>^{\frac{1}{2}}<f,f>^{\frac{1}{2}}\Longrightarrow |<f,f>|=\|f\|_2^2\Longrightarrow <f,f>^{\frac{1}{2}}=\|f\|_2 \)
Añadido: De lo marcado en azul no estoy completamente seguro 
Saludos