Hola, Rubén. Aquí tienes una respuesta detallada a las preguntas planteadas en tu post:
### **A) Demostrar que existe \( k \in \mathbb{R} \) para el que la ecuación no tiene solución y además no es único.**
La ecuación dada es:
\[
\ln(x) - x^k = 0, \quad k \neq 0
\]
Esto equivale a analizar la función:
\[
f(x) = \ln(x) - x^k
\]
Para estudiar si tiene solución, debemos verificar si existen puntos donde \( f(x) = 0 \), es decir, si la función corta al eje \( x \). Analizamos el comportamiento de \( f(x) \):
- **Dominio**:
\(\ln(x)\) está definida para \(x > 0\). Por lo tanto, \(f(x)\) está definida únicamente para \(x > 0\).
- **Límites**:
- Para \(x \to 0^+\):
\[
\ln(x) \to -\infty, \quad x^k \to
\begin{cases}
0 & \text{si } k > 0, \\
\infty & \text{si } k < 0.
\end{cases}
\]
Entonces:
\[
\lim_{x \to 0^+} f(x) =
\begin{cases}
-\infty & \text{si } k > 0, \\
\infty & \text{si } k < 0.
\end{cases}
\]
- Para \(x \to \infty\):
\[
\ln(x) \to \infty, \quad x^k \to
\begin{cases}
\infty & \text{si } k > 0, \\
0 & \text{si } k < 0.
\end{cases}
\]
Entonces:
\[
\lim_{x \to \infty} f(x) =
\begin{cases}
-\infty & \text{si } k > 0, \\
\infty & \text{si } k < 0.
\end{cases}
\]
- **Derivada de \(f(x)\)**:
\[
f'(x) = \frac{1}{x} - kx^{k-1}.
\]
Para \(f'(x) = 0\), resolvemos:
\[
\frac{1}{x} = kx^{k-1} \implies x^{1-k} = k \implies x = k^{\frac{1}{1-k}}, \quad k > 0.
\]
Esto nos da los puntos críticos, donde podrían existir máximos o mínimos.
---
Ahora analizamos diferentes casos para \(k\):
1. **Si \(k > 1\)**:
- \(f(x)\) tiende a \(-\infty\) tanto en \(x \to 0^+\) como en \(x \to \infty\).
- En este caso, puede no haber soluciones reales porque \(f(x)\) no corta el eje \(x\).
2. **Si \(0 < k < 1\) o \(k < 0\)**:
- \(f(x)\) puede cambiar de signo y tener al menos una solución.
Además, hay valores de \(k\) para los que la ecuación no tiene solución, y estos no son únicos porque varios valores de \(k > 1\) satisfacen esta condición.
---
### **B) Determinar en función de \(k\) las soluciones que tiene la ecuación.**
Para encontrar las soluciones de \(f(x) = 0\), consideramos el análisis anterior:
1. **Si \(k > 1\)**:
- \(f(x)\) es estrictamente decreciente en \(x > 0\) y tiende a \(-\infty\) en ambos extremos.
- Por lo tanto, no tiene soluciones reales.
2. **Si \(k = 1\)**:
- La ecuación se reduce a:
\[
\ln(x) - x = 0.
\]
- Aquí hay una solución única, ya que \(f(x)\) cambia de signo una vez.
3. **Si \(0 < k < 1\)**:
- En este caso, \(f(x)\) tiene un máximo local en:
\[
x = k^{\frac{1}{1-k}}.
\]
- Si el valor máximo de \(f(x)\) es positivo, la ecuación tiene dos soluciones reales; si no, no tiene soluciones.
4. **Si \(k < 0\)**:
- Cuando \(k < 0\), la función \(-x^k\) crece rápidamente hacia \(\infty\) en \(x \to 0^+\) y decrece hacia \(0\) en \(x \to \infty\).
- En este caso, siempre existe una solución única.
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