[anartesi]

Hola, estoy acá con este libro y estoy confundida con un ejercicio, dice así…
Sea G un grupo y H un subgrupo de G.

Defínase para $$ a, b \in{} G , a \sim{} b  $$
$$ si , a^{-1}b \in{} H $$
Pruébese que esto es una relación de equivalencia en G (eso ya lo hice)
y demuéstrese que $$  [ a ] = aH = \left\{{ah | h \in{} H }\right\} $$
Ahora, lo que está en naranja, es la definición de clase lateral, no entiendo que debería demostrar…

Tal vez que a cualquier elemento de G puedo operarlo con todo elemento de H? Hace mucho estudié esto…no recuerdo, gracias

[ani_pascual]

Hola:

...
Pruébese que esto es una relación de equivalencia en G (eso ya lo hice)
y demuéstrese que $$  [ a ] = aH = \left\{{ah | h \in{} H }\right\} $$
Ahora, lo que está en naranja, es la definición de clase lateral, no entiendo que debería demostrar…

Intenta demostrar por doble inclusión que los conjuntos \( [a] \) y \( aH \) son iguales.

Spoiler

Sea \( b\in [a] \) entonces \( b=aa^{-1}b \) donde \( a^{-1}b\in H \) ya que \( a\sim b \) y, por tanto,   \( b\in aH \).
Por otra parte, dado \( b\in aH, \exists\, h\in H  \) tal que \( b=ah \) de donde \( a^{-1}b=a^{-1}ah=h\in H \), lo cual implica que \( a\sim b\Longleftrightarrow b\in [a] \)

[cerrar]

Saludos