Se dice que \( X \subseteq{\mathbb{A}^n _k} \), con \( k \) un cuerpo, es un conjunto algebraico si existe \( S \subseteq{k[x]} \) tal que \( \mathcal{V}(S) := \{ P \in \mathbb{A}^n _k | f(P) = 0, \forall f \in S \} = X \).
Bien.
Se tiene además que si \( |k|= \infty \) entonces los únicos conjuntos algebraicos son el vacío, el total, y los conjuntos finitos de puntos.
Esto solo es verdad para \( n=1 \), es decir, en \( \mathbb{A}^1 \). Si no, ya no es cierto, por ejemplo como bien mencionas la circunferencia unidad (sobre \( \Bbb R \)) es un conjunto algebraico del plano que ni es vacío, ni es el total, ni es un conjunto finito de puntos.
Pero por ejemplo, en \( \mathbb{A}^2 _\mathbb{R} \) tenemos que \( \mathcal{V}(x^2 + y^2 - 1) \) es un conjunto algebraico (es la circunferencia unidad). Sin embargo existen infinitos puntos que anulan a \( x^2 + y^2 - 1 \) en \( \mathbb{R}^2 \) (puntos que forman la curva de la circunferencia unidad). Aunque a su vez un polinomio, como el mencionado antes, se supone que tiene como mucho 2 raíces, ¿no?
Un polinomio
en una variable sobre un dominio de integridad tiene como mucho tantas raíces como su grado. Pero en más de una variable ya no es cierto. Si llamas \( f(x,y)=x^2+y^2-1 \in \Bbb R[x,y] \), lo que sí es cierto es que para cada \( a \in \Bbb R \) fijo, el polinomio \( f(a,y) = a^2+y^2-1 \in \Bbb R[y] \) y el polinomio \( f(x,a) = x^2+a^2-1 \in \Bbb R[x] \) tienen como mucho dos raíces. Pero el polinomio de dos variables \( f(x,y)=x^2+y^2-1 \in \Bbb R[x,y] \) tiene infinitas raíces, es decir, infinitos pares \( (a,b) \in \Bbb R^2 \) tales que \( f(a,b)=0 \).
Aquí reside mi duda. No se si me he equivocado yo en algún aspecto que he escrito antes o no se ver cual es la diferencia entre ceros de un polinomio y conjuntos algebraicos.
No, de hecho no hay diferencia alguna. Los conjuntos algebraicos son exactamente aquellos subconjuntos de \( \Bbb A_k^n \) que son soluciones de un sistema de ecuaciones polinómicas (ceros simultáneos de un conjunto de polinomios).
