Hola
Buenos días con todos. Tengo el siguiente problema: Sea \( \lambda:I\longrightarrow{\mathbb{R^n}} \) un camino diferenciable tal que \( \lambda(t)\neq0 \) y \( \lambda^{'}(t)=f(t)\lambda(t) \) para todo \( t\in{I} \). Pruebe que la imagen \( \lambda[I] \) está contenida en una recta que pasa por el origen.
Hay varias formas de verlo dependiendo de los resultados previos que tengas.
Una opción es considerar la EDO, \( g'(t)=f(t)g(t) \) cuya solución general es \( g(t)=k\cdot e^{F(t)} \), donde \( F(t) \) es una primitiva de \( f(t) \).
Entonces una curva cumpliendo lo pedido es de la forma:
\( (x_1(t),x_2(t),\ldots,x_n(t))=e^{F(t)}(k_1,k_2,\ldots,k_n) \)
y por tanto yace sobre la recta generada por \( (k_1,k_2,\ldots,k_n). \)
Otra opción si has dado que toda curva de curvatura cero es una recta, es calcular la curvatura y ver que efectivamente es nula: es muy inmediato.
Saludos.
