Hola feriva y Richard.
Lo fundamental, es empezar a entender que hayan elementos que no se pueden listar o enumerar. Una de las cosas que eso significa es que las iteraciones o secuencias ,a lo sumo, serán del tamaño aleph 0. Y esto tiene que ver con lo que pusiste ayer Richard (lo de: entre 2 reales siempre habrá otro real). Ya lo comentaré más adelante a ver qué os parece. En todo caso, lo clave es que sólo se puede iterar, partir, operar, etc lo que sea, como máximo, del tamaño de los naturales. Creo que es la idea que subyace a todo esto. ¿no os parece?
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Dicho esto, lo que me pregunto es: ¿un conjunto es una lista de elementos?. Por que entonces a partir de cierto tamaño ya no se pueden listar elementos; como ocurre con los reales, cuyos elementos no siguen ninguna secuencia por no ser listables. Por tanto tendríamos un problema con si los reales son o no son un conjunto.
Ciertamente, pero, esto parece poderse solventar simplemente diciendo que un conjunto es, sólo, una definición de objetos: cualquier objeto que cumpla tal definición forma parte del conjunto.
Lo que ocurre es que cada objeto, a su vez, es también un conjunto y por tanto, una definición. Una definición que debe ser coherente con las definiciones que lo contienen, y también con las que él contiene. Y si consideramos que cada definición, al final, no deja de ser un axioma, entonces tenemos que los conjuntos son, de algún modo, una especie de sistemas axiomáticos. Y los sistemas axiomáticos sí son listas de axiomas que actúan secuencialmente. ¿Me equivoco?
A fin de cuentas, dados múltiples objetos, para saber si cumplen o no cumplen con una definición hay que analizarlos uno a uno, y por tanto secuencialmente ¿o me equivoco? No obstante, no sería posible hacer eso con los reales. Con todos los reales. Solo lo podemos hacer con una cantidad Aleph 0 de ellos, pero muchísimos objetos quedan colgados sin poder saber si son o no reales. O dicho de otro modo, el conjunto de los reales no puede ser nunca completo y por tanto no puede contener a todos los reales.
Más tarde comentaré tu ejemplo de ayer Richard.
Saludos
Buenas tardes, RDC.
Si al decir que no se pueden definir uno por uno te refieres a que no se pueden numerar, pues sí, pero cada uno es cada cual, tampoco hay tantísima diferencia entre los reales y los racionales, es una cuestión muy técnica; de hecho, los racionales son densos como los irracionales, no existe una distancia mínima entre ellos, no son mucho menos abstractos.
Y en cuanto a las biyecciones no hay demasiado problema respecto de las ideas que se usan (al menos asumiendo la hipótesis del continuo). Podría haberlo, precisamente, por lo que decías de la distinción, es decir, ante algún planteamiento particular podríamos no saber si en un cierto subconjunto de reales hay o no un “trozo de continuo”, podría ser difícil dilucidarlo, en cuyo caso no podríamos saber con seguridad si es numerable o no. Pero aquí vuelvo a lo mismo, o lo es o no lo es, eso es independiente de nuestra dificultad a la hora de distinguir. Este conjunto {3,2,3,1} se puede biyectar con éste {2,1,3}, tiene el mismo cardinal, 3. En este caso vemos claro que hay dos representantes de un mismo elemento. Si fueran reales, a lo mejor no se podría distinguir eso, pero lo que es seguro es que cada conjunto tendrá un cardinal y sólo uno, porque, por definición, el cardinal de un conjunto es único.
“Conjunto” es una palabra que se podría reservar perfectamente sólo para los conjuntos numerables; y a los no numerales llamarles otra cosa, como “mogollones”, pues no está el problema en el nombre en cuanto a la comprensión del asunto. ¿Es un conjunto o es un mogollón? El bautizarlos de una forma u otra ya queda a tu elección o a la de cada cual.
Saludos.
No estoy seguro de que realmente sea un problema de ponerle un nombre u otro. A fin de cuentas un conjunto es una definición. Por ejemplo, el conjunto de los naturales no es más que "todo cuanto cumple la definición de ser un nº natural", de modo que cualquier elemento que cumpla con tal definición de natural forma parte del conjunto de los naturales.
Luego está el hecho de "qué significa que un conjunto no sea numerable", más allá de que no sea posible establecer una relación biyectiva con los naturales. Creo que lo que caracteriza a los naturales es la iteración o secuenciación, es decir, todo cuanto implica ir paso a paso, hacer saltos o presentar una visión discreta del continuo. No me parece trivial que el argumento de diagonalización se base en una iteración y llegue a la conclusión de que los reales, y por tanto el continuo, no se puedan representar de forma completa mediante saltos (dicretamente), porque te dejas valores. ¿no es una forma de interpretarlo?
De hecho, todas estas matemáticas no han sido más que una forma muy compleja de tratar este viejo dilema: ¿es la realidad (la recta real) continua o discreta? Entendiendo que discreta significa que la recta está formada por partes muy pequeñas y que al partir la recta puedes ir quitando partes cada vez menores, hasta que al final llegues a quitar la última parte superminúscula y ya no haya nada más que partir y quitar.
No en vano, uno de los primeros trabajos matemáticos de Cantor fue su monstruo fractal, que tiene que ver con esto, que a la vez se relaciona con lo que me comentó ayer Richard.
Tomando un segmento [0,1] este se parte en 3 partes, y se quita la del medio. Entonces, cada una de las 2 partes se vuelve a partir en 3 partes más, quitando en cada una de ellas la del medio. Si esto se va iterando hasta el infinito, un infinito numeral por supuesto, en vez de quedarnos ya sin nada entre manos terminamos con infinitas partes, que se toman por puntos atómicos (indivisibles), simplemente porque ya no se pueden partir más dado que hemos partido todo lo que se puede partir partiendo hasta el infinito.
Con esto Cantor, entiendo, que empezó a sospechar que existían diferentes tamaños de conjuntos infinitos. Y que los reales configuraban un continuo no discreto.
Por tanto, vemos que operaciones como partir, iterar, etc, siempre se quedarán "cortas" para tratar a los reales, como un conjunto, pero no para tratar a conjuntos numerables de objetos. Por ejemplo, si tomamos un segmento puramente racional [0,1] y empezamos a partirlo por la mitad, quitando una de las mitades y volviendo a partir la otra mitad, y así indefinidamente, vamos a terminar sin nada entre manos
En fin, que el hecho de que la partición, la iteración, la secuenciación no se pueda usar para tratar a los reales como totalidad, sino de forma parcial, tal y como se puede para tratar cualquier conjunto numerable, se me hace muy raro y me ha llevado a divagar con estas cosas.
Y de hecho, no tengo muy claro que más allá de los reales existan conjuntos con más elementos; por ejemplo que sea posible generar el conjunto potencia de los reales. Por inducción igual es fácil decir que sí que deben de existir pero no lo veo muy claro. No sé...
