Saludos, tengo que demostrar que la siguientes propiedades son equivalentes a ergodicidad
Demuestre que una medida de probabilidad invariante \( \mu \) es ergódica para una transformación \( f:M\to M \) si y sólo si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones:
a. \( \mu\left(\bigcup_{n\geq 0} f^{-n}(A)\right)=1 \) para todo conjunto medible \( A \) con \( \mu(A)>0 \).
b. Dados los conjuntos medibles \( A,B \) con \( \mu(A)\mu(B)>0 \), exitste \( n\geq 1 \) tal que \( \mu(f^{-n}(A)\cap B)>0 \).
c. La convergencia de
\( \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{j=0}^{n-1}\int (U_f^j \varphi)\psi d\mu=\int \varphi d\mu\int \psi d\mu \)
se cumple para alguna \( p,q \) y algún subconjunto denso de funciones \( \varphi\in L^p(\mu) \), \( \psi\in L^q(\mu) \).
donde \( U \) es el operador de Koopman, \( U_f(\varphi)=\varphi\circ f \)
d. Existe \( p\in[1,\infty] \) tal que toda función invariante \( \varphi\in L^p(\mu) \) es constante en \( \mu \) ctp.
e. Toda función integrable \( \varphi \) que satisface \( \mu \circ f\geq \varphi \) en \( \mu \)-ctp (o \( \mu \circ f\leq \varphi \) en \( \mu \)-ctp) es constante \( \mu \)-ctp
