[sanderdrd]

Hola, necesito ayuda para continuar con el siguiente problema:

"¿Cuántos elementos \( \bar{a} \in (\mathbb{Z}/2^{10}\mathbb{Z})^* \) son de la forma \( \bar{a}=\bar{b}^3 \) para cierto \( \bar{b} \in (\mathbb{Z}/2^{10}\mathbb{Z})^* \)?.

Partí por el hecho que como \( \bar{a},\bar{b} \in (\mathbb{Z}/2^{10}\mathbb{Z})^* \), entonces \( \bar{a}=(\bar{-1})^n(\bar{5})^m \) y \( \bar{b}=(\bar{-1})^i(\bar{5})^j \) con \( 0\leq{n,i}<2 \) y \( 0\leq{m,j}<2^{8} \), y \( (\mathbb{Z}/2^{10}\mathbb{Z} \) es de cardinal \( 2^9 \). Pero no lo veo muy bien.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, necesito ayuda para continuar con el siguiente problema:

"¿Cuántos elementos \( \bar{a} \in (\mathbb{Z}/2^{10}\mathbb{Z})^* \) son de la forma \( \bar{a}=\bar{b}^3 \) para cierto \( \bar{b} \in (\mathbb{Z}/2^{10}\mathbb{Z})^* \)?.

Partí por el hecho que como \( \bar{a},\bar{b} \in (\mathbb{Z}/2^{10}\mathbb{Z})^* \), entonces \( \bar{a}=(\bar{-1})^n(\bar{5})^m \) y \( \bar{b}=(\bar{-1})^i(\bar{5})^j \) con \( 0\leq{n,i}<2 \) y \( 0\leq{m,j}<2^{8} \), y \( (\mathbb{Z}/2^{10}\mathbb{Z} \) es de cardinal \( 2^9 \). Pero no lo veo muy bien.

Sea \( G=(\mathbb{Z}/2^{10}\mathbb{Z})^* \) y considera la aplicación:

\( f:G\to G,\quad f(x)=x^3 \)

Es un morfismo de grupos. Su núcleo está formado por los elementos que cumplen \( x^3=1 \). Serían elementos de orden \( 3 \). Pero el orden de un elemento divide al orden del grupo y \( orden(G)=2^9 \), que no es divisible por \( 3 \). Por tanto la única posibilidad es que \( ker(f)=\{1\} \). Eso quiere decir que \( f \) es inyectiva y por ser una aplicación de un conjunto finito \( G \) en si mismo también sobreyectiva. Conlcusión: todo elemento de \( G \) es imagen de algún \( x \) por \( f \), es deci, todo \( a\in (\mathbb{Z}/2^{10}\mathbb{Z})^* \) es el cubo de algún elemento.

Saludos.