[mireialili]

Buenos días, ¿alguien me podría ayudar con esta demostración?
Sean un grupo \( G \) y \( H,K\leqslant G \) dos subgrupos de \( G \). Si uno de ellos es normal en \( \langle H,K \rangle \), entonces \( \langle H,K \rangle =HK \).

Mensaje de la moderación: se ha corregido el \( \LaTeX \) y se ha cambiado el título por uno más informativo.
Recuerda leer y seguir las reglas del foro así como el tutorial de \( \LaTeX \) para escribir las expresiones matemáticas correctamente.

[Masacroso]

Buenos días, ¿alguien me podría ayudar con esta demostración?
Sean un grupo \( G \) y \( H,K\leqslant G \) dos subgrupos de \( G \). Si uno de ellos es normal en \( \langle H,K \rangle \), entonces \( \langle H,K \rangle =HK \).

Una pista. Observa que \( \langle H,K \rangle =\langle HK \rangle  \) ya que los elementos de \( \langle  H,K\rangle  \) son productos finitos de la forma \( h_1k_1h_2k_2\cdots h_nk_n \) para \( h_j\in H \) y \( k_j\in K \), por tanto es suficiente con demostrar que si \( H \) es normal en \( \langle HK \rangle  \) entonces \( HK \) es subgrupo de \( \langle HK \rangle  \) (y por tanto \( HK=\langle HK \rangle=\langle H,K \rangle   \)).