Hola
La idea de "conjetura" que yo manejo y que entiendo es que es una afirmación que se hace o que se llega como conclusión de un resultado que después se quiere demostrar. No he consultado los libros de matemáticas específicos que dan la definición formal, clara, precisa o intuitiva sobre lo que es una conjecture en matemáticas.
Una conjetura (en el contexto de las matemáticas) es una afirmación sobre alguna propiedad que se sospecha que es cierta (porque se cumple para ejemplos; porque generaliza otras que si se han probado; por intuición...) pero que no ha sido formalmente demostrada.
Ahí está el problemita, otra duda, todas las conjeturas son iguales? Cuál es el patrón que sigue una conjetura? O cómo puedo saber si mi conjetura está bien hecha y planteada? Sin errores.
Esas preguntas son demasiado generales. No se me ocurre ningún "patrón" que destacar de manera genérica en una conjetura. Es imposible al 100% saber si tu conjetura está bien hecha y planteada, porque si lo supieses estaría demostrada y dejaría de ser conjetura.
Pero la conjetura debe de basarse en algo; ejemplos particulares para los que se cumple; o generalización natural de resultados conocidos. Estará mal planteada si fácilmente se consiguen ejemplos que la "tiren abajo" o si directamente no tiene sentido.
De todas formas yo no me rompería mucho la cabeza en filosofar sobre el resultado del termino. Por ejemplo aquí:
Un ejercicio para aprender y entender el concepto.
Problema: Consideremos la sucesión de números naturales \( u_0=2, u_n=2u_{n-1}+1, n\ge 1. \) Conjeturar una fórmula para \( u_n \) del tipo \( u_n=a2^n+b \), donde \( a,b\in \mathbb{Z} \) (no dependientes de \( n \)).
Se podría enunciar sin usar la palabra conjetura. Te piden que intentes encontrar (con o sin demostración) una fórmula general de la forma \( u_n=a2^n+b \) que cumpla las condiciones \( u_0=2 \), \( u_n=2u_{n-1}+1 \) para \( n\ne 1 \).
Entonces uno diría:
- Si tienen que cumplir \( 2=u_0 \), entonces \( a2^0+b=2 \) es decir, \( a+b=2 \).
- Tiene que cumplir \( u_n=2u_{n-1}+1 \) para \( n\ne 1 \). En particular \( u_1=2u_{1-1}+1=2u_0+1=5 \). Por tanto:
\( 5=u_1=a2^1+b=2a+b \)
Ahora de las dos condiciones \( a+b=2 \) y \( 2a+b=5 \) deducimos \( a=3 \) y \( b=-1 \).
Por tanto la conjetura es que si \( u_n \) cumple \( u_0=2, u_n=2u_{n-1}+1, n\ge 1, \), entonces \( u_n=3\cdot 2^n-1 \)
Hasta aquí la conjetura.
Adicionalmente ahora vamos a comprobar si es cierta. Tomamos \( u_n=3\cdot 2^n-2 \). Comprobamos
1) ¿Cumple \( u_0=2 \)?. \( 3\cdot 2^0-1=3-1=2 \). ¡Si!.
2) ¿Cumple para \( n\geq 1 \), qué \( u_n=2u_{n-1}+1 \)?.
\( 2u_{n-1}+1=2(4\cdot 2^{n-1}-1)+1=4\cdot 2^n-2+1=4\cdot 2^n-1=u_n \). ¡Si!.
¡Ahora la conjetura está demostrada!.
Otra duda, cuando preguntan en los problemas sobre esto: "Conjeturar y posteriormente verificar qué condiciones o que relación cumple cierta estructura matemática en un cierto dominio dado". ¿Qué es lo que hay que hacer o desarrollar realmente?
Eso está ilustrado en el ejemplo anterior; pero lo de menos es entender que significa "conjetura"; al final estás intentado resolver un problema. Lo fundamental es entender y dominar lo más posible los concetos involucrados en ese problema.
Saludos.
