No sabía que los decimales sin fin (pero periódicos) fueran racionales, pensé que eran irracionales.
Sí, son racionales por una razón muy sencilla.
Si, por ejemplo, tienes dos tartas (o tortas) o tres tartas o las que quieras y las quieres repartir entre, qué se yo, tres personas, basta hacer tres partes iguales de cada tarta para que no sobre ningún trozo; cada uno se lleva un trozo de cada tarta y todos reciben la misma cantidad. Así si quieres repartir 2 entre 3, o sea que tienes la fracción 2/3, basta que hagas eso y tendrás 6 trozos con lo que darás 2 a cada uno. Si tenemos 5 tartas para repartir entre 7, pues lo mismo, hacemos 7 partes iguales de cada unidad (es decir, de cada tarta) procedemos análogamente a lo anterior y la división se acabará antes; todos recibirán lo mismo y se irán a comer por ahí y no no sobrará nada de tarta.
Qué es lo que pasa, pues que para poder repartir de forma exacta, unas veces tendremos partir las unidades en 3, otras en 7... y con números grandes las cuentas puede ser un lío, pueden hacerse difíciles metódicamente. Así que, lo mejor es partir la unidad siempre en un mismo número de trozos; aunque tendrá ese pequeño problema de los racionales con infinitas cifras.
Claro, si quieres repartir 2 entre 3 de cada tarta hacemos 10 trozos (que los que usamos en las divisiones que hacemos) pues de cada tarta se reparten 9 y sobran 2 trozos; y como son tres personas hay que volver a partir esos 10+10=20 trocitos entre 3 una vez más vuelven sobrar dos trocitos; repartimos 18 y los dos que sobran hay que volverlos a partir en 10 cada 1; y así la división no se acaba nunca, pero porque elegimos partir así las unidades.
Eso es lo que ocurre cuando se divide a mano. Al dividir 2 entre 3 ponemos un cero detŕas del dos, 20 y un cero y una coma en el cociente. Como trabajamos siempre en base decimal, esto, 20, quiere de decir veinte trozos, pero podemos entender que 20 quiere decir tres+tres=seis trozos sin problemas; una tarta es la misma cantidad partida en 3 que en 10 o que en los trozos que sea, la unidad no cambia; aunque sea abstracta y no tenga “tamaño”, como el 1 de los números.
Así que el problema es metódico, no teórico. Realmente siempre podemos encontrar una base numérica para que la división acabe y no tengan infinitos decimales. Por eso, si sumas a mano 1/3=0,333... tres veces da
0,999... pero esto no es más que una representación del 1, no es un número distinto, porque si divides en base tres, haciendo tres trozos de la unidad, la cuenta sale con este número 1 y la división se acaba.
Así que los racionales de infinitas cifras no existen en realidad, es sólo debido a esa elección de partir en 10 partes las unidades.
Saludos.
