Hola
Hola, tengo una duda sobre el siguiente problema.
Sean \( m,n \) primos distintos, encuentre un \( x \in \mathbb{Z} \) tal que:
\( x \equiv (n-1)! \: (mod \: n) \), \( (m-1)x \equiv (m-2)! \: (mod \: m) \)
Mi duda es si aplicamos el teorema de Wilson, ¿\( x \) es necesariamente \( -1 \)?.
Efectivamente por el Teorema de Wilson,
\( (n-1)!\equiv -1 \) mod \( n \)
\( (m-1)!\equiv -1 \) mod \( m \) y también \( m-1\equiv -1 \) mod \( m \)
Por tanto:
\( x\equiv (n-1)! \) mod \( n \) implica \( x\equiv -1 \) mod \( n \).
\( (m-1)x\equiv (m-2)! \) mod \( m \) implica \( (m-1)^2x\equiv (m-1)! \), es decir, \( x\equiv -1 \) mod \( m \)
Entonces, cuidado, deducimos que \( x \) tiene que cumplir \( x\equiv -1 \) mod \( n \) y \( x\equiv -1 \) mod \( m \). Como \( m,n \) con coprimos eso equivale a:
\( x\equiv -1 \) mod \( nm \)
Es decir todos los posibles valores de \( x \) cumpliendo las condiciones son los enteros de la forma:
\( x=-1+knm \) con \( k\in \Bbb Z \)
Saludos.
