[petras]

Calcula la altura de un trapecio si sus bases miden \( 2 \) y \( 4 \) y sus diagonales miden 5 y 6. (R: \( 2\sqrt6 \))
No puedo obtener esa respuesta

[Masacroso]

Calcula la altura de un trapecio si sus bases miden \( 2 \) y \( 4 \) y sus diagonales miden 5 y 6. (R: \( 2\sqrt6 \))
No puedo obtener esa respuesta

El trapecio es algo como lo que sigue:



donde \( a_1+a_2=2 \) y \( b=2 \), \( d_1=5 \) y \( d_2=6 \). Se trata de relacionar catetos adyacentes e hipotenusas con la altura de los dos triángulos rectángulos, bajo esas condiciones. Con el teorema de Pitágoras tienes que

\( \displaystyle{
(a_j+b)^2+h^2=d_j^2,\; j\in\{1,2\}\implies h^2=25-(a_1+2)^2=36-(4-a_1)^2\\
} \)

que es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Primero hallas \( a_1 \) y una vez hallada \( a_1 \) ya puedes hallar \( h \). Me sale que \( a_1=1/{\color{red}{12}} \) y \( h=\tfrac{5}{12}\sqrt{119} \), he revisado los cálculos y parecen estar bien.

Corregido.

[Abdulai]

Puede haber una errata, ése es el resultado cuando las diagonales son 5 y 7

[petras]

Puede haber una errata, ése es el resultado cuando las diagonales son 5 y 7

Podría ser un error tipográfico en el libro.

¿Conseguiste encontrar la solución con 5 y 7? Pude demostrarlo porque no pude.

Saludos

[petras]

Calcula la altura de un trapecio si sus bases miden \( 2 \) y \( 4 \) y sus diagonales miden 5 y 6. (R: \( 2\sqrt6 \))
No puedo obtener esa respuesta

El trapecio es algo como lo que sigue:



donde \( a_1+a_2=2 \) y \( b=2 \), \( d_1=5 \) y \( d_2=6 \). Se trata de relacionar catetos adyacentes e hipotenusas con la altura de los dos triángulos rectángulos, bajo esas condiciones. Con el teorema de Pitágoras tienes que

\( \displaystyle{
(a_j+b)^2+h^2=d_j^2,\; j\in\{1,2\}\implies h^2=25-(a_1+2)^2=36-(4-a_1)^2\\
} \)

que es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Primero hallas \( a_1 \) y una vez hallada \( a_1 \) ya puedes hallar \( h \). Me sale que \( a_1=1/16 \) y \( h=\tfrac{5}{12}\sqrt{119} \), he revisado los cálculos y parecen estar bien.

Agradecido.solo una correccion \(  a_1 =\frac{1}{12}  \)

[ani_pascual]

Hola:

\( \displaystyle{
(a_j+b)^2+h^2=d_j^2,\; j\in\{1,2\}\implies h^2=25-(a_1+2)^2=36-(4-a_1)^2\\
} \)

...

Por coherencia con el dibujo...¿ no sería \( h^2=25-(a_2+2)^2=36-(4-a_2)^2\Longleftrightarrow h^2=25-(4-a_1)^2=36-(2+a_1)^2  \)?
En cualquier caso, el resultado parece correcto 
Saludos

[petras]

Puede haber una errata, ése es el resultado cuando las diagonales son 5 y 7

Lo entendí, realmente deberían haber sido 5 y 7.

Agradecido

[Abdulai]

...¿Conseguiste encontrar la solución con 5 y 7? Pude demostrarlo porque no pude.

Del SE planteado por Masacroso con \( d_1=5\,,\,d_2=7\,,\,b=2 \)
\( (a_1 + b)^2 + h^2 - d_1^2 = 0 \)
\( (a_2 + b)^2 + h^2 - d_2^2 = 0 \)
\( a_1+a_2=2\;\;\longrightarrow\;\; a_2=2-a_1 \)

Restando las dos primeras   \( a_1^2 + 4a_1 - a_2^2 - 4a_2 + 24= (a_1+a_2)(a_1-a_2) + 4(a_1-a_2) +24 = 0 \)
\( 2(2a_1-2) + 4(2a_1-2) +24 = 12a_1+12=0\;\;\longrightarrow\;\;a_1=-1 \)

Reemplazando en la 1er ec.  \( (a_1 + b)^2 + h^2 - d_1^2 = h^2-24=0\;\;\longrightarrow\;\;h=2\sqrt 6 \)

[Masacroso]

Por coherencia con el dibujo...¿ no sería \( h^2=25-(a_2+2)^2=36-(4-a_2)^2\Longleftrightarrow h^2=25-(4-a_1)^2=36-(2+a_1)^2  \)?
En cualquier caso, el resultado parece correcto 
Saludos

Supongo que te refieres a que en mi dibujo \( d_1>d_2 \), cuando debería ser al revés debido a los valores de \( d_1 \) y \( d_2 \) que les asigno. Sí, tendría que cambiar las etiquetas para que el dibujo represente al menos relaciones de orden semejantes al problema original. Pero bueno, algebraicamente el resultado va a ser el mismo.