[alucard]

Hola tengo el siguiente ejercicio
Hallar el dominio y el conjunto de ceros de la siguiente función

\( f(x)=x-x^{4\log_{81}(x)} \)

La primer inquietud que tengo es en el dominio de f.

La expresión \( x^{4\log_{81}(x)} \)¿ nó es exponencial ? .
Porque cuando calculo el dominio debería quedar \( (0,+\infty)-\left\{{1}\right\} \), sin embargo la respuesta figura \( R^{+} \)

La segunda es en el conjunto de ceros , cuando hago

\( 0=x-x^{4\log_{81}(x)}\rightarrow{x=x^{4\log_{81}(x)}}\rightarrow{1=4\log_{81}(x)}\rightarrow{x=\sqrt[4 ]{81}=3} \)

Sin embargo en la respuesta figura \( S=\left\{{1,3}\right\} \), me comí el 1 pero no encuentro donde 

[Masacroso]

Para simplificar la expresión un poco puedes definir \( K:=\ln 81 \) y observar que \( x=e^{\ln x} \) para \( x>0 \), entonces tienes que

\( \displaystyle{
x^{4\log_{81}x}=x^{\frac{4}{K}\ln x}=(e^{\ln x})^{\frac{4}{K}\ln x}=e^{\frac{4}{K}(\ln x)^2}
} \)

Entonces el dominio de la función incluye a \( (0,\infty ) \), y por otro lado como en la expresión original ya hay un logaritmo entonces no puede ser un dominio mayor que éste.

[alucard]

Para simplificar la expresión un poco puedes definir \( K:=\ln 81 \) y observar que \( x=e^{\ln x} \) para \( x>0 \), entonces tienes que

\( \displaystyle{
x^{4\log_{81}x}=x^{\frac{4}{K}\ln x}=(e^{\ln x})^{\frac{4}{K}\ln x}=e^{\frac{4}{K}(\ln x)^2}
} \)

Entonces el dominio de la función incluye a \( (0,\infty ) \), y por otro lado como en la expresión original ya hay un logaritmo entonces no puede ser un dominio mayor que éste.

Entonces ¿tengo que hacer esos pasos para hallar el dominio, cuando tengo algo de la forma \( x^{f(x)} \)?

[Luis Fuentes]

Hola

Para simplificar la expresión un poco puedes definir \( K:=\ln 81 \) y observar que \( x=e^{\ln x} \) para \( x>0 \), entonces tienes que

\( \displaystyle{
x^{4\log_{81}x}=x^{\frac{4}{K}\ln x}=(e^{\ln x})^{\frac{4}{K}\ln x}=e^{\frac{4}{K}(\ln x)^2}
} \)

Entonces el dominio de la función incluye a \( (0,\infty ) \), y por otro lado como en la expresión original ya hay un logaritmo entonces no puede ser un dominio mayor que éste.

Pero directamente el logaritmo \( log_b(x) \) en cualquier base tiene por dominio \( (0,+\infty) \). Todos los demás elementos de la función también están entonces definidos, es decir si \( x\in (0,+\infty) \) cualquier potencia de \( x \) está definida. Así que el dominio es \( (0,+\infty) \).

La segunda es en el conjunto de ceros , cuando hago

\( 0=x-x^{4\log_{81}(x)}\rightarrow{x=x^{4\log_{81}(x)}}\rightarrow{1=4\log_{81}(x)}\rightarrow{x=\sqrt[4 ]{81}=3} \)

Sin embargo en la respuesta figura \( S=\left\{{1,3}\right\} \), me comí el 1 pero no encuentro donde  :-

Porque para \( x>0 \), \( x^a=x^b \) equivale a \( a=b \) ó \( x=1 \).

Saludos.

[Masacroso]

Hola

Para simplificar la expresión un poco puedes definir \( K:=\ln 81 \) y observar que \( x=e^{\ln x} \) para \( x>0 \), entonces tienes que

\( \displaystyle{
x^{4\log_{81}x}=x^{\frac{4}{K}\ln x}=(e^{\ln x})^{\frac{4}{K}\ln x}=e^{\frac{4}{K}(\ln x)^2}
} \)

Entonces el dominio de la función incluye a \( (0,\infty ) \), y por otro lado como en la expresión original ya hay un logaritmo entonces no puede ser un dominio mayor que éste.

Pero directamente el logaritmo \( log_b(x) \) en cualquier base tiene por dominio \( (0,+\infty) \). Todos los demás elementos de la función también están entonces definidos, es decir si \( x\in (0,+\infty) \) cualquier potencia de \( x \) está definida. Así que el dominio es \( (0,+\infty) \).

Saludos.

Sí, ya. Era un ejemplo de una forma de proceder generalizada, que se resume en que si tienes dos funciones \( f \) y \( g \) entonces \( (f(x))^{g(x)}=e^{g(x)\ln [f(x)]} \) (y en verdad habría que decir que la anterior igualdad es más bien una definición). A mí me resulta mucho más fácil de ver todo lo que es una función de la forma \( (f(x))^{g(x)} \) si la escribo como \( e^{g(x)\ln [f(x)]} \), por tanto supuse que también podría servirle a alucard o cualquier otro que lea este hilo.

[alucard]

Antes que nada gracias por su tiempo en responder mis inquietudes, entonces creo que algún concepto teórico tengo mal .
Por ejemplo para que la función \( f(x)=a^x \) sea exponencial necesariamente \( a>0 \wedge a\neq 1 \) ¿correcto?

Lo que me confunde un poco es que si tengo \( f(x)=x^x \) ¿no es exponencial? si lo analizo como tal el dominio debería ser \( x>0 \wedge x\neq 1 \) siendo \( x \) la base de mi función

sin embargo puedo ver en el gráfico , que el dominio solo es \( x>0 \), ¿porqué toma el 1?

[Luis Fuentes]

Hola

Antes que nada gracias por su tiempo en responder mis inquietudes, entonces creo que algún concepto teórico tengo mal .
Por ejemplo para que la función \( f(x)=a^x \) sea exponencial necesariamente \( a>0 \wedge a\neq 1 \) ¿correcto?

Lo que me confunde un poco es que si tengo \( f(x)=x^x \) ¿no es exponencial? si lo analizo como tal el dominio debería ser \( x>0 \wedge x\neq 1 \) siendo \( x \) la base de mi función

Pero olvídate de que  la función se le llame o no "exponencial". ¿Qué importa eso?. Si \( a=1 \) entonces \( f(x)=a^x=1^x=1 \) es una función constante; de acuerdo, no le llamamos "exponencial", pero sigue siendo una función.

Entonces para analizar el dominio de una función no tienes que fijarte en el "nombre" que se da esa función, sino en los dominios donde están definidas las distintas funciones elementales que la componen.

Saludos.

[Masacroso]

Entonces ¿tengo que hacer esos pasos para hallar el dominio, cuando tengo algo de la forma \( x^{f(x)} \)?

No es necesario hacerlos, pero por ejemplo a mí me ayuda a ver más fácilmente lo que es una función como \( x^x \) si la escribo como \( e^{x\ln x} \), puedo analizar muy fácilmente cómo se comporta: máximos, mínimos, límites, imagen, dominio, etc.

Ciertamente, si hablamos de números reales, si tienes una función de la forma \( (f(x))^{g(x)} \) entonces el dominio serán aquellos \( x\in \mathbb{R} \) tales que \( f(x) \) y \( g(x) \) existan y donde además \( f(x)>0 \), y no hace falta recurrir a escribir \( x^{g(x)} \) como \( e^{g(x) \ln (x)} \) para ver eso, pero a mí personalmente escribirlo de esa segunda forma me simplifica mucho el análisis de esa función en todo.

[alucard]

Muchas gracias por sus respuestas, ya me quedo mas claro el tema