[mathaus]

Buenas noches, estaba revisando mis apuntes sobre análisis y me surgió la siguiente duda, si tengo que las métricas \( \rho \) y \( \sigma \) sobre un conjunto \( X \) son equivalentes. ¿Son necesariamente \( (X, \rho) \) y \( (X, \sigma) \) ambos completos, o ambos no completos?

¿Conocen algún ejemplo en dónde se vea que no necesariamente ocurra esto?

Gracias de antemano.

Saludos

[Masacroso]

Buenas noches, estaba revisando mis apuntes sobre análisis y me surgió la siguiente duda, si tengo que las métricas \( \rho \) y \( \sigma \) sobre un conjunto \( X \) son equivalentes. ¿Son necesariamente \( (X, \rho) \) y \( (X, \sigma) \) ambos completos, o ambos no completos?

La demostración es trivial, usa la definición de completitud y de métrica equivalente.

SOLUCIÓN

\( \rho  \) y \( \sigma  \) son equivalentes si y solo si existen constantes \( C_1,C_2>0 \) tales que \( C_1\rho (x,y)\leqslant \sigma (x,y)\leqslant C_2 \rho (x,y) \) para todo \( x,y\in X \).

Sea \( \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) una sucesión de Cauchy cualquiera en \( (X,\sigma  ) \), entonces de la definición de métricas equivalentes se sigue que \( \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) es también Cauchy en \( (X,\rho ) \). Si \( (X,\rho ) \) es completo entonces existe \( x\in X \) tal que \( x_n\to x \) en \( (X,\rho ) \), y de nuevo debido a la relación de equivalencia entre \( \rho  \) y \( \sigma  \) se sigue que \( x_n \to x \) en \( (X,\sigma ) \) también, luego \( (X,\sigma ) \) es también completo.

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