[mathaus]

Me podrían ayudar con un ejemplo que pueda resolver el siguiente problema:

Pruebe por medio de un ejemplo, que un espacio métrico \( (X, \rho ) \) puede tener completaciones \( (Y, \sigma) \) e \( (Y_1, \sigma _1) \) tal que \( (Y_1, \sigma _1) \) es un subespacio propio de \( (Y, \sigma ) \) (es decir, \( Y -Y_1\neq \emptyset ) \)

Saludos.

[Masacroso]

Me podrían ayudar con un ejemplo que pueda resolver el siguiente problema:

Pruebe por medio de un ejemplo, que un espacio métrico \( (X, \rho ) \) puede tener completaciones \( (Y, \sigma) \) e \( (Y_1, \sigma _1) \) tal que \( (Y_1, \sigma _1) \) es un subespacio propio de \( (Y, \sigma ) \) (es decir, \( Y -Y_1\neq \emptyset ) \)

Saludos.

Prueba a buscar una isometría de un espacio métrico completo con alguno de sus subespacios propios, por ejemplo en el espacio de sucesiones acotadas de números reales \( \ell ^{\infty }(\mathbb{N},\mathbb{R}) \) con la distancia \( d(\mathbf{x},\mathbf{y}):=\sup_{n\in \mathbb{N}}|x_n-y_n| \).

SOLUCIÓN

Si \( (x_1,x_2,\ldots ,)\in \ell ^{\infty }(\mathbb{N},\mathbb{R}) \) define \( h(x_1,x_2,\ldots ):=(0,x_1,x_2,\ldots ) \), entonces \( h \) es una isometría no sobreyectiva.

[cerrar]