Hola
5.3.4 Consider the ruled surface \( \sigma(u,v)=\gamma(u)+v\delta(u) \), where \( \left\|{\delta(u)}\right\|=1 \) y \( \delta^{\prime}(u)\neq0 \) for all values of \( u \). Show that there is a unique point \( \Gamma(u) \), say, on the ruling through \( \gamma(u) \) at which \( \delta^{\prime}(u) \) is perpendicular to the surface. The curve \( \Gamma \) is called the line of striction of the ruled surface \( \sigma \). Show that \( \tilde{\sigma}(u,\tilde{v}) \). Let \( \tilde{v}=v+\displaystyle\frac{\color{red}\Gamma^{\prime}\color{black}\cdot{}\delta^{\prime}}{\left\|{\delta(u)}\right\|^2} \) and let \( \tilde{\sigma}(u,\tilde{v}) \) be the corresponding reparametrization of \( \sigma \). Then, \( \tilde{\sigma}(u,\tilde{v})=\Gamma(u)+\tilde{v}\delta(u) \). This means that, when considering ruled surfaces, we can always assume that \( \gamma^{\prime}\cdot{}\delta^{\prime}=0 \).
En lo marcado en rojo debe de ser:
\( \tilde{v}=v+\displaystyle\frac{\color{red}\gamma^{\prime}\color{black}\cdot{}\delta^{\prime}}{\left\|{\delta(u)}\right\|^2} \)
Para que el vector \( \delta'(u) \) sea ortogonal a la superficie en el punto \( \Gamma(u)=\sigma(u,v) \), tiene que ser ortogonal a los vectores tangentes a las curvas coordenadas en ese punto, es decir, a los vectores \( \sigma_u,\sigma_v \) (el subíndice indica la parcial respecto a la variable marcada).
Tenemos:
\( \sigma(u,v)=\gamma(u)+v\delta(u) \)
y por tanto:
\( \sigma_u(u,v)=\gamma'(u)+v\delta'(u) \)
\( \sigma_v(u,v)=\delta(u) \)
Para que haya ortogonalidad tiene que cumplirse:
\( \delta'(u)\dot \sigma_u(u,v)=0\quad \Leftrightarrow{}\quad \delta'(u)\cdot \gamma'(u)+v\|\delta'(u)\|^2=0 \)
\( \delta'(u)\dot \sigma_v(u,v)=0\quad \Leftrightarrow{}\quad \delta'(u)\cdot \delta(u)=0 \)
La segunda condición se cumple siempre, porque si por hipóteis \( \|\delta(u)\|=1 \) entonces:
\( \delta(u)\cdot \delta(u)=1 \) y derivando \( 2\delta(u)\cdot \delta'(u)=0 \).
De la primera condición:
\( v=-\dfrac{\delta'(u)\cdot \gamma'(u)}{\|\delta'(u)\|^2} \)
Por tanto el único punto pedido existe y es:
\( \Gamma(u)=\gamma(u)-\dfrac{\delta'(u)\cdot \gamma'(u)}{\|\delta'(u)\|^2}\delta(u) \)
Por tanto:
\( \sigma(u,v)=\gamma(u)+v\delta(u)=\Gamma(u)+\dfrac{\delta'(u)\cdot \gamma'(u)}{\|\delta'(u)\|^2}\delta(u)+v\delta u=\Gamma(u)+\left(v+\dfrac{\delta'(u)\cdot \gamma'(u)}{\|\delta'(u)\|^2}\right)\delta(u) \)
y llamando:
\( \bar v=v+\dfrac{\delta'(u)\cdot \gamma'(u)}{\|\delta'(u)\|^2} \)
\( \sigma(u,\bar v)=\gamma(u)+\bar v\delta(u) \).
Saludos.
