Hola feriva entiendo que todo lo que escribiste es posible porque por tu definición de k lo hace un número par y un número par si es divisible por dos números consecutivos.
Efectivamente, Richard, por eso puse el mensaje en rojo de que estaba revisando, porque sabía que tenía que haber algo mal debido a eso; porque no estaba usando la condición de impar.
Pero he podido demostrar una condición necesaria (creo, si no hay algo mal otra vez).
...
Esto está mal tambiénSpoiler
Empeceré usando la condición de que “n” es impar:
Con “n” impar y para todo \( P_{i}
\) divisor primo de n, ocurre que \( n-2P_{i}
\) es múltiplo de \( P_{i}
\) sólo, y si sólo, si no es múltiplo de \( P_{i}^{2}
\).
Entonces podemos hacer
1ª \( n-2P_{i}=NP_{i}^{2}+MP_{i}
\) con M distinto de cero y coprimo con el primo.
Y de ahí
2ª \( n=NP_{i}^{2}+MP_{i}+2P_{i}
\)
y usando la kn que vengo utilizando
3ª \( kn=kP_{i}(NP_{i}+M)+2kP_{i}
\).
Entonces
4ª \( kP_{i}(NP_{i}+M)+2kP_{i}=kn
\)
dividiendo entre el primo
5ª \( k(NP_{i}+M)+2k=\dfrac{kn}{P_{i}}
\)
6ª \( k(NP_{i}+M+2)=\dfrac{kn}{P_{i}}
\)
Como \( (NP_{i}+M)
\) es coprimo con el primo, si \( P_{i}
\) vuelve a dividir a la igualdad (es decir, si \( P_{i}^{2}
\) divide a kn) entonces \( P_{i}
\) divide a k o bien divide a \( NP_{i}+M+2
\); en cuyo caso M+2 sería múltiplo del primo. Pero esto último no puede ocurrir, ya que, por 2ª tenemos
\( n=NP_{i}^{2}+MP_{i}+2P_{i}=
\)
\( NP_{i}^{2}+P_{i}(M+2)
\)
Y “n” sería múltiplo de \( P_{i}^{2}
\) contradiciendo la primera condición; en la cual, aquí sí, uso de forma decisiva la imparidad de “n”. Éste es el error, "n" claro que es múltiplo del cuadrado del primo, la condición era que no lo fuera \( n-2P_i \)
Luego si “kn” es impar, entonces “k” es múltiplo de un divisor primo de “n”. Es más, todos los \( P_i \), todos los primos componentes de “n”, dividirán a “k” (si está bien).
Si esto estuviera bien, no demuestra que no existan, pero ya sabríamos algo más y quizá ya no fuera tan difícil; ahora no puedo seguir, voy a hacerme la comida.
(*Revisádmelo a ver)
Saludos.
