Hola
Considerar el conjunto \( G \) de las matrices de \( \text{SL}_3(\mathbb{Z}_p) \) (con \( p \) primo) que tienen la forma \( \begin{pmatrix}{1}&{x}&{z}\\{0}&{1}&{y}\\{0}&{0}&{1}\end{pmatrix} \).
Mostrar que \( G \) es un subgrupo con \( |G|=p^3 \) y que \( G \) no es abeliano. Hallar \( Z(G) \) y \( G/Z(G) \). (Este grupo se llama el grupo de Heisemberg sobre \( \mathbb{Z}_p \)).
Pude hacer todo menos identificar quien es \( G/Z(G) \). Haciendo cuentas obtuve que \( Z(G) \) son las matrices de la forma \( \begin{pmatrix}{1}&{0}&{z}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{pmatrix} \) pero me cuesta hacer el cociente.
Se que el cociente tendrá orden \( |G|/|Z(G)|=p^3/p=p^2 \) y en un ejercicio anterior probé que cualquier grupo de orden \( p^2 \) es abeliano. Luego por el teorema de clasificación de grupos abelianos finitamente generados tenemos que \( |G|/|Z(G)| \cong \mathbb{Z}_{p^2} \) o \( |G|/|Z(G)| \cong \mathbb{Z}_p \oplus \mathbb{Z}_p \) pero no se como saber cual de los dos es 
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Cualquier ayuda es bienvenida.
Fíjate que:
\( \begin{pmatrix}{1}&{x}&{z}\\{0}&{1}&{y}\\{0}&{0}&{1}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}{1}&{0}&{z'}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{1}&{x}&{z+z'}\\{0}&{1}&{y}\\{0}&{0}&{1}\end{pmatrix} \)
Por tanto sin más que tomar \( \color{red}z'=-z\color{black} \) todo elemento del cociente tiene un representante de la forma:
\( \begin{pmatrix}{1}&{x}&{0}\\{0}&{1}&{y}\\{0}&{0}&{1}\end{pmatrix} \)
Dado que:
\( \begin{pmatrix}{1}&{x}&{0}\\{0}&{1}&{y}\\{0}&{0}&{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{1}&{x'}&{0}\\{0}&{1}&{y'}\\{0}&{0}&{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{1}&{x+x'}&{0}\\{0}&{1}&{y+y'}\\{0}&{0}&{1}\end{pmatrix} \).
uno ya intuye que es isomorfo a \( \Bbb Z_p\oplus \Bbb Z_p \).
Técnicamente puedes definir:
\( f:G\to \Bbb Z_p\oplus \Bbb Z_p \) con \( f\begin{pmatrix}{1}&{x}&{z}\\{0}&{1}&{y}\\{0}&{0}&{1}\end{pmatrix}=(x,y) \)
y comprobar que es morfismo de grupos sobreyectivo y con \( ker(f)=Z(G) \), de donde por los teoremas de isomorfía \( G/ker(f)\cong Im(f) \).
Saludos.
CORREGIDO
