[RDC]

He añadido algunas correcciones de tipo formal, por ejemplo he introducido funciones multivaluadas para definir que un conjunto pueda tener varias imágenes en otro conjunto.

Propuesta de demostración de la conjetura de Andrica (y de Legendre): https://es.wikipedia.org/wiki/Conjetura_de_Andrica

Ésta conjetura supone que:

Dados dos primos consecutivos $$p_i, p_{i+1}$$ siempre se cumplirá la siguiente relación:

$$\sqrt[ ]{p_{i+1}}-\sqrt[ ]{p_i}\leq{1}$$, o lo que resulta equivalente:

$$ p_{i+1}-p_i\leq{2\sqrt[ ]{pi}}+1$$


Para hacer una aproximación a esta conjetura antes de nada cabe observar que para cualquier $$m, m\in{\Bbb N}$$, tal que $$m$$ sea un compuesto, ello implica que tiene por factores, como mínimo, a dos números primos. Entonces, si tomamos $$p_x$$ como el menor primo que compone a $$m$$, mientras tomamos a $$y, y\in{\Bbb N}$$, como el otro factor de $$m$$, entonces podemos generalizar esta idea tal que así:

$$m=p_x·y$$.

Y si recordamos el viejo teorema que dice que para todo compuesto $$m$$ su primo menor debe ser, a lo sumo, igual a su propia raíz cuadrada, tenemos entonces que:
 
$$p_x\leq{\sqrt[ ]{m}}=\sqrt[ ]{p_x+y}$$; con lo cual, también siempre se da que $$y\geq{\sqrt[ ]{m}}, y=p_1·p_2·...p_y$$


Pero este viejo teorema se puede generalizar para definir cualquier número natural, $$n$$, sin emplear exclusivamente primos. Lo hacemos del siguiente modo:

$$n=x·y$$, siendo $$x,y$$ dos naturales cualquiera mayores que 0.

$$1\leq{x}\leq{\sqrt[ ]{n}}$$; $$x$$ pasa a ser un "factor menor" de $$n$$.

$$\sqrt[ ]{n}\leq{y}\leq{n}$$; $$y$$ pasa a ser un "factor mayor" de $$n$$.


Nota: de dicha definición se sigue los siguientes 3 puntos

Spoiler

a) $$n$$ puede tener diferentes factores menores, $$F_{min(n)}=\left\{{x_1, x_2, ..., x_n}\right\}$$, con lo cual también puede tener diferentes "factores mayores", $$F_{max(n)}=\left\{{y_1,y_2,..., y_n}\right\}$$. De modo que podemos definir $$n$$ tal que:

$$n=x_1·y_1=x_2·y_2=...= x_n·y_n$$

Ejemplos:

1) $$n=60=1·60=2·30=3·20=4·15=5·12=6·10$$, donde $$\sqrt[ ]{n}\geq{8}$$

2) $$n=38=1·38=2·19$$ No hay más representaciones posibles


b) Con el punto anterior alertamos como cualquier $$n$$ puede tener varios "factores menores", el menor del cual será siempre $$x_1$$, luego $$x_2$$, etc. Y además, cabe precisar que siempre tendremos que $$x_1=1$$. Mientras tanto, el más grande de los "factores menores" que podría tener $$n$$ será $$x_{\sqrt[ ]{n}}$$, por ejemplo cuando $$n=49=7·7$$ (los dos factores coinciden y son $$\sqrt[ ]{n}$$

Por otro lado, el "factor mayor" más pequeño posible ( $$y_1$$ ) que puede tener $$n$$, será siempre el propio número $$y_1=n$$. Esto sucede para todo número.


c) Podemos definir un número primo como aquel $$n>1$$ tal que:

Sólo tiene un único "factor menor" posible, dado que sólo se puede representar como $$n=x_1·y_1=1·n$$.

[cerrar]

Dado un $$n$$ cualquiera podemos generar la siguiente lista $$A$$ de números naturales:

Tomamos: $$n+1=a_1; n+2=a_2;...;n+(z)=a_z$$. Siendo $$z$$ un natural tal que:

a) Si $$n=m^2$$, entonces $$z=\sqrt[ ]{n}-1$$

b) Si $$n\neq m^2$$, entonces $$z<\sqrt[ ]{n}; \sqrt[ ]{n}-z<1$$ 

Entonces:

$$A=\left\{{a_1, a_2, ..., a_z}\right\}$$

Spoiler

Cabe señalar que, a la vez, $$n$$ también nos permite generar la siguiente lista de naturales $$C$$:

Siendo: $$n-1=c_1; n-2=c_2;...;n-z=c_z$$. Entonces:

$$C=\left\{{c_1, c_2, ..., c_z}\right\}$$

Y lo que se cumple para A también se cumple para C.

[cerrar]

Y un $$n$$ también nos permite generar la siguiente lista de naturales $$B$$:

$$B=\left\{{b_j, b_j\in{\Bbb N}}; b_j\leq{z}\right\}=\left\{{1,2,3,...z}\right\}$$


Entonces, sobre las listas $$A$$ y $$B$$ ahora establecemos la siguiente operación entre los dos conjuntos:

$$f(a_i)=b_j·y_i$$

Spoiler

Ejemplo 1º:

Sea $$n=49$$ de modo que: $$z=\sqrt[ ]{49}-1=6$$. Entonces

$$A=\left\{{50,51,52,53,54,55,55}\right\}$$

$$C=\left\{{48,47,46,45,44,43}\right\}$$

$$B=\left\{{1,2,3,4,5,6}\right\}$$

Por tanto:

$$50=2·25$$
$$51=3·17$$
$$52=4·13$$
$$53=1·53$$
$$54=6·9$$
$$55=5·11$$

$$48=6·8=3·16$$
$$47=1·47$$
$$46=2·23$$
$$45=5·9=3·15$$
$$44=4·11$$
$$43=1·43$$



Ejemplo 2º:

Sea $$n=71$$ de modo que: $$\sqrt[ ]{71}-z<1; z=8$$. Entonces

$$A=\left\{{72,73,74,75,76,77,78,79}\right\}$$

$$C=\left\{{70,29,68,67,66,65,64,63}\right\}$$

$$B=\left\{{1,2,3,4,5,6,7,8}\right\}$$

Por tanto:

$$72=8·9=3·24$$
$$73=1·73$$
$$74=2·37$$
$$75=5·15$$
$$76=4·19$$
$$77=7·11$$
$$78=6·13$$
$$79=1·79$$


$$70=7·10=5·14=2·35$$
$$69=3·23$$
$$68=4·17$$
$$67=1·67$$
$$66=6·11$$
$$65=5·13$$
$$64=8·8$$
$$63=3·21=7·9$$

[cerrar]

EL JUEGO

A partir de esta idea se crean las normas para el siguiente "juego":

0. Tomando $$n=m^2$$ formamos los conjuntos $$B$$ y $$A$$ (también funciona con el conjunto $$C$$)

Spoiler

Recordamos que el número de elementos de $$B$$ y de $$A$$ será un número natural $$z, z=\sqrt[ ]{n}-1$$

[cerrar]

1. Existe una función $$f(b):B\longrightarrow{P(A)}$$. Esta función es multivaluada.

2. Según la función $$f(b)$$ un $$a_i, a_i\in{P(A)}, P(A)\subset{A}$$  es imagen real de un elemento $$b_j, b_j\in{B}$$ si, y sólo si, $$b_j$$ es un factor de $$a_i$$. Ahora bien, según el juego, no todo elemento de $$B$$ que sea un factor de un elemento $$a_i$$ de $$A$$ tendrá este elemento $$a_i$$ como antiimagen real.

3. Principio de clasificación (imagen real y aparente):

Cualquier elemento $$b_j, b_j\in{B}$$ que sea un factor de un elemento $$a_i, a_i\in{A}$$ se clasifica en dos tipos:

a) O puede ser un factor $$a_i$$ tal que exige que el elemento $$a_i$$  sea considerado por el juego como una imagen aparente de $$b_j$$. Este tipo de imágenes no forman parte de la aplicación $$f(b)$$, con lo cual no se consideran imágenes reales en el juego.

b) O puede ser un factor de $$a_i$$ tal que exige que el elemento $$a_i$$ sea considerado por el juego como una imagen real de $$b_j$$. Este tipo de imágenes son las únicas imágenes que forman parte de la aplicación $$f(b)$$ y por tanto, son las que sí se consideran como imágenes reales en el juego.

4. Principio de realidad
a) Si un elemento $$b_, b_i\in{B}$$ sólo puede tener a $$a_i, a_i\in{A}$$ como la única imagen posible en $$A$$, entonces esta imagen es, siempre, una imagen real de $$b_i$$.

b) Un elemento $$b_j, b_j\in{B}$$ puede tener varias imágenes posibles en $$A$$. En tal caso, de todas ellas solo serán siempre imágenes reales de $$b_i$$ aquellos elementos de $$A$$ que sólo y exclusivamente pueden ser imágenes de $$b_i$$ y de ningún otro elemento de $$B$$. 

Spoiler

Este punto precisa de cierta aclaración:

hay que tener en cuenta que todo conjunto $$B$$ contiene al elemento $$b_1=1$$. Y este elemento tiene por imagen posible a todo elemento de $$A$$. Sin embargo, por el punto 4.b, el elemento $$b_1=1$$ sólo tendrá por imágenes reales de la aplicación $$f(b)$$ aquellos elementos de $$A$$ que sólo tengan al $$b_1=1$$ como única antiimagen posible (aquellos número de $$A$$ que son primos).

Por consiguiente, los elementos de $$A$$ que tengan como posibles antiimagenes a $$b_1=1$$ y, además, a otro elemento diferente $$b_i, b_i\in{B}$$, sólo serán imágenes reales de este elemento $$b_i$$ y no de $$b_1=1$$.

[cerrar]

5. Principio de dicotomía
Dos conjuntos, $$B$$ y $$A$$, o están en biyección y por el punto 4 cada elemento $$b_j, b_j\in{B}$$ sólo puede tener por imagen real un único y exclusivo elemento $$a_i, a_i\in{A}$$, o bien, presentan algún tipo de "solapamiento".  En tal caso tenemos una función multivariable entre B y A, dado que hay elementos de B que tienen por imagen real a un subconjunto de $$A$$ con varios elementos.

6. Principio de solapamiento.
Dos o más elementos de $$B$$ se solapan en una misma imagen real en $$A$$ cuando comparten una misma imagen real $$a_i, a_i\in{A}$$, dado que ninguno de ellos tiene otra imagen posible en $$A$$. Sólo en tal caso la relación entre $$B$$ y $$A$$ no es biyectiva.

7. Principio de liberación

Cuando dos elementos $$b_x,b_y\in{B}$$ se solapan en una misma imagen en $$A$$, aparentemente queda un elemento $$a_i, a_i\in{A}$$ desparejado o liberado. Eso implica que $$a_i$$ será la imagen real de un $$b_j, b_j\in{B}$$, que debe tener algo en común con $$b_x,b_y\in{B}$$: este elemento $$b_j$$ siempre será el "menor factor común no compuesto" de $$b_x$$ y $$b_y$$.

Spoiler

El principio de liberación exige que, aunque un elemento $$b_j$$ tenga ya una imagen real en $$A$$, al ser el "menor factor común no compuesto" de dos elementos de $$B$$ solapados en una misma imagen ,$$b_x$$ y $$b_y$$, entonces tenga otra imagen real más en $$A$$: el elemento de $$A$$ que ha quedado liberado por el solapamiento. Eso explica, por ejemplo, que dado un número cuadrado $$n$$ pueda haber más de un número primo en su $$A$$ por ejemplo.

Pero además puede darse la siguiente situación: Que este elemento $$b_j$$ al tomar como imagen al elemento de $$A$$ que se había liberado con el primer solapamiento, se solape con otro elemento $$b_g, b_g\in{B}$$. Entonces hay que tratarlo como un nuevo solapamiento, nada más.

por tanto, cabe atender que los solapamientos pueden irse entrecadenando.

[cerrar]

8.Principio de prioridad

Si un elemento de $$B$$ puede solaparse aparentemente con varios elementos diferentes de $$A$$, entonces el solapamiento real será con la imagen en $$A$$ con cuya otra antiimagen presenten el "menor factor común no compuesto".


Observaciones

Este juego exige que las conjeturas de Andrica, y de Legendre, sean ciertas, y para cada número cuadrado $$n$$ exista, como mínimo, un número primo en su $$A$$ y en su $$C$$. Razonamiento:

1) Tesis: Dado un número cuadrado $$n$$, el punto 5 exige que si ningún elemento de su conjunto $$B$$ presenta solapamientos, entonces la relación que habrá entre $$B$$ y $$A$$ (o $$C$$) será siempre biyectiva, dado que la posible biyección sólo se rompe por los solapamientos. Y si tal relación es biyectiva eso exige que en $$A$$ (o $$C$$) haya siempre un número primo.

Razonamiento para demostrar este punto 5: todo elemento de $$A$$ (o de $$C$$) siempre tendrá como mínimo una antiimagen possible, que será $$b_1=1$$. Y luego, todo elemento de $$B$$ tendrá como mínimo una imagen possible en $$A$$ (o en $$C$$), dado que que los elementos de $$A$$ son contables con los elementos $$B$$, y, además, el "factor menor" más grande que puede tener un elemento de $$A$$ siempre será el elemento más grande de $$B$$.

En consecuencia: si no se produce ningún solapamiento, entonces únicamente por el punto 4 es necesario que haya una biyección entre $$B$$ y $$A$$ (o bien $$$C$$)

2) A partir de lo anterior es evidente que el punto 4 sólo se puede romper cuando se produce algún tipo de solapamiento. El solapamiento, en esencia, se produce cuando dos o más elementos de $$B$$ comparten una misma imagen de $$A$$ y no hay posibilidad de que puedan tener otra imagen posible. Pero el solapamiento implica que un elemento de $$A$$ (o de $$C$$) quede liberado y sea imagen de del "menor factor común no compuesto" de los dos elementos solapados.

Por tanto, resulta imposible que, dado un cuadrado $$n$$, un solapamiento impida que exista un número primo en $$A$$ (o en $$C$$). De hecho los solapamientos exigen que haya más números primos posibles en $$A$$ (o en $$C$$)



Ejemplos del juego

Spoiler

Los puntos 0, 1, 2 y 3 son la definición del tipo de aplicación sobre la cual estructuramos el juego.

Punto 4 (a y b): Entendiendo este punto nos damos cuenta que siempre comenzaremos a emparejar los elementos de $$B$$ de más grandes a más pequeños. Y vemos como si sólo se aplica este punto para definir la relación entre $$B$$ y $$A$$ obtendremos, siempre una relación biyectiva.

$$n=25, \sqrt[ ]{n}=5\longrightarrow{z=4}$$, entonces $$B=  \left\{{1,2,3,4}\right\}$$ y $$A=\left\{{21,22,23,24}\right\}$$

Generamos la aplicación para obtener los siguientes emparejamientos:

$$4\longrightarrow{24}$$ El $$4$$ sólo puede tener al $$24$$ como imagen. Por el punto 4.a es su imagen real.
$$3\longrightarrow{21}$$ El $$3$$ puede tener como imágenes al $$21$$ y al $$24$$, pero por el punto 4.b sólo tiene el $$21$$ como imagen real porque el $$21$$ sólo puede tener al $$3$$ como antiimagen. 
$$2\longrightarrow{22}$$ El $$2$$ puede tener como imágenes al $$22$$ y al $$24$$, pero por el punto 4.b sólo tiene el $$22$$ como imagen real porque el $$22$$ sólo puede tener al $$2$$ como antiimagen.
$$1\longrightarrow{23}$$ El $$1$$ puede tener como imágenes al $$21, 22,23,24$$, pero por el punto 4.b sólo tiene el $$23$$ como imagen real porque el $$23$$ es el único valor de $$A$$ que sólo tiene al $$1$$ como antiimagen.

Puntos 5, 6, 7, 8 y 9 nos introducen los solapamientos:

Tomamos $$n=49$$. Y en este caso en vez del conjunto $$A$$ construimos el $$C$$:

$$n=49, \sqrt[ ]{n}=7\longrightarrow{z=6}$$, entonces $$B=  \left\{{1,2,3,4,5,6}\right\}$$ y $$C=\left\{{43,44,45,46,47,48}\right\}$$

$$6\longrightarrow{48}$$  El $$6$$ sólo puede tener al $$48$$ como imagen en $$A$$. Por el punto 4.a, es su imagen real.
$$5\longrightarrow{45}$$  El $$5$$ sólo puede tener al $$45$$ como imagen en $$A$$. Por el punto 4.a  es su imagen real.
$$4\longrightarrow{44}$$  El $$4$$ puede tener por imagen al $$44$$ y al $$48$$, pero por el punto 4.b sólo tiene al $$44$$ como imagen real porque el $$44$$ sólo puede tener al $$4$$ como antiimagen.
$$3\longrightarrow{45}$$  El $$3$$ puede tener por imagen al $$45$$ y al $$48$$. En los dos casos el $$3$$ se solapa con otros elementos de $$B$$: en $$45$$ se solapa el $$3$$ con el $$5$$, y en $$48$$ se solapa el $$3$$ con el $$6$$. El $$5$$ y el $$3$$ tienen por "mínimo factor común no compuesto" al $$1$$, mientras que el $$6$$ y el $$3$$ tienen como "mínimo factor común no compuesto" al $$3$$. Por el punto 9 (principio de prioridad), el solapamiento real será con el $$5$$. Entonces, esto indica que por el punto 8 (principio de liberación) en el conjunto $$A$$ parecería quedar un elemento aparentemente sin antiimagen en $$B$$. Sin embargo, su antiimagen real será el $$1$$, dado que es el "menor factor común no compuesto" entre el $$5$$ y el $$3$$.
$$2\longrightarrow{46}$$ El $$2$$ puede tener por imagen al $$44, 46,48$$, pero por el punto 4.b sólo tiene al $$46$$ como imagen real porque el $$46$$ es el único de todos ellos que sólo tiene al $$2$$ como antiimagen.
$$1\longrightarrow{43,47}$$ El $$1$$ puede tener por imagen al $$43,44,45,46,47,48$$, pero por el punto 4.b y el punto 5 (principio de carácter) sólo tiene al $$43$$ y al $$47$$ como imágenes reales porque son los únicos valores de todos ellos que sólo tienen al $$1$$ como antiimagen.

Hagamos un ejemplo general de todos los puntos ya más amplio

$$n=81, \sqrt[ ]{n}=9\longrightarrow{z=8}$$, entonces $$B=  \left\{{1,2,3,4,5,6,7,8}\right\}$$ y $$A=\left\{{82,83,84,85,86,87,88,89}\right\}$$

$$8\longrightarrow{88}$$  El $$8$$ sólo puede tener al $$88$$ como imagen en $$A$$. Por el punto 4.a, es su imagen real.
$$7\longrightarrow{84}$$  El $$7$$ sólo puede tener al $$84$$ como imagen en $$A$$. Por el punto 4.a, es su imagen real.
$$6\longrightarrow{84}$$  El $$6$$ sólo puede tener al $$84$$ como imagen en $$A$$. Por el punto 4.a, es su imagen real.
$$5\longrightarrow{85}$$  El $$5$$ sólo puede tener al $$85$$ como imagen en $$A$$. Por el punto 4.a, es su imagen real.
$$4\longrightarrow{84}$$  El $$4$$ puede tener al $$84$$ y al $$88$$ como imágenes en $$A$$. En los dos casos el $$4$$ se solapa con otros elementos de B: en $$84$$ el $$4$$ se solapa con el $$7$$ y el $$6$$; en el $$88$$ el $$4$$ se solapa con el $$8$$. Por el punto 9 (principio de prioridad), se solapará realmente con el $$84$$ dado que con el número $$7$$ comparten el $$1$$ como "menor factor no compuesto", en cambio con el $$88$$ comparte el $$2$$ con el $$8$$. Por tanto, al solaparse el $$4$$ y el $$7$$ en el $$84$$ ello libera un elemento en $$A$$, que tendrá al $$1$$ como antiimagen. Sin embargo, como en el $$84$$ también se solapan el $$4$$ y el $$6$$, que comparten como "mínimo factor común no compuesto" al $$2$$, entonces se libera otro elemento más de $$A$$, que tendrá al $$2$$ como antiimagen.
$$3\longrightarrow{87}$$  El $$3$$ puede tener por imagen al $$84$$ y al $$87$$, pero por el punto 4.b sólo tiene al $$87$$ como imagen real porque el $$87$$ sólo puede tener al $$3$$ como antiimagen.
$$2\longrightarrow{82,86}$$ El $$2$$ puede tener por imagen al $$82,84,86,88$$, pero por el punto 4.b y el punto 5 (principio de carácter) sólo tiene al $$82$$ y al $$86$$ como imágenes reales porque son los únicos valores de todos ellos que sólo tienen al $$2$$ como antiimagen.
$$1\longrightarrow{83,89}$$ El $$1$$ puede tener por imagen al $$82,83,84,85,86,87,88,89$$, pero por el punto 4.b y el punto 5 (principio de carácter) sólo tiene al $$83$$ y al $$89$$ como imágenes reales porque son los únicos valores de todos ellos que sólo tienen al $$1$$ como antiimagen.

Otros ejemplos ya sin explicación para visualizar los emparejamientos que da este juego

$$n=100, \sqrt[ ]{n}=10\longrightarrow{z=9}$$, entonces $$B=  \left\{{1,2,3,4,5,6,7,8,9}\right\}$$ y $$A=\left\{{101,102,103,104,105,106,107,108,109}\right\}$$

$$9\longrightarrow{108}$$
$$8\longrightarrow{104}$$
$$7\longrightarrow{105}$$
$$6\longrightarrow{102}$$
$$5\longrightarrow{105}$$
$$4\longrightarrow{108}$$
$$3\longrightarrow{105}$$
$$2\longrightarrow{106}$$
$$1\longrightarrow{{101,103,107,109}}$$

Otro ejemplo sin explicación

$$n=196, \sqrt[ ]{n}=14\longrightarrow{z=13}$$, entonces $$B=  \left\{{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13}\right\}$$ y $$A=\left\{{197,198,199,200,201,202,203,204,205,206,207,208,209}\right\}$$

$$13\longrightarrow{208}$$
$$12\longrightarrow{204}$$
$$11\longrightarrow{209}$$
$$10\longrightarrow{200}$$
$$9\longrightarrow{207}$$
$$8\longrightarrow{208}$$
$$7\longrightarrow{203}$$
$$6\longrightarrow{198}$$
$$5\longrightarrow{205}$$
$$4\longrightarrow{204}$$
$$3\longrightarrow{201}$$
$$2\longrightarrow{{202,206}}$$
$$1\longrightarrow{{197,199}}$$

Otro ejemplo sin explicación

$$n=324, \sqrt[ ]{n}=18\longrightarrow{z=17}$$, entonces $$B=  \left\{{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17}\right\}$$ y $$C=\left\{{323,322,321,320,319,318,317,316,315,314,313,312,311,310,309,308,307}\right\}$$

$$17\longrightarrow{323}$$
$$16\longrightarrow{320}$$
$$15\longrightarrow{315}$$
$$14\longrightarrow{322}$$
$$13\longrightarrow{312}$$
$$12\longrightarrow{312}$$
$$11\longrightarrow{319}$$
$$10\longrightarrow{310}$$
$$9\longrightarrow{315}$$
$$8\longrightarrow{312}$$
$$7\longrightarrow{308}$$
$$6\longrightarrow{318}$$
$$5\longrightarrow{320}$$
$$4\longrightarrow{316}$$
$$3\longrightarrow{{309,321}}$$
$$2\longrightarrow{{308,314}}$$
$$1\longrightarrow{{307,311,313,317}}$$

[cerrar]

Saludos

[RDC]

He abreviado el juego propuesto y he cambiado algunas explicaciones, que ahora me parecen complicadas, por otras más simples.

Tenemos que dado un natural cualquiera $$m$$ entonces $$n=m^2$$ y $$z=m-1$$. Sobre ello generamos el conjunto A y B (también el C pero lo podemos obviar para abreviar).

$$A=\left\{{n+1,n+2,...,n+z}\right\}$$
$$B=\left\{{1,2,3,...,z}\right\}$$

Spoiler

El conjunto A contiene el intervalo de números que van de $$m^2+1$$ hasta $$m^2+m-1$$
El conjunto B contiene lo que había llamado como "factores menores" de los elementos de A, que no serían más que todos los "divisores menores" que pueden tener los elementos de A

La idea es que todo número natural mayor que 1 se puede escribir, siempre, como el producto de dos divisores $$x,y$$, siendo $$x\leq{y}$$

$$n=x·y$$

Lo que tenemos es que este divisor menor de $$n$$, $$x$$, nunca será mayor que $$\sqrt[ ]{n}=m$$.

Además, dado un intervalo de valores que van de $$n$$ hasta $$n+z$$, ninguno de los "divisores menores" de todos los elementos del intérvalo jamás será mayor que $$m$$. De hecho, a lo sumo será $$z$$. De modo que los divisores menores de los elementos de A siempre serán algún elemento de B.

Pero, además, todos los elementos de B deben ser divisores menores de algún elemento de A.

Por ejemplo, si $$n=64$$, de modo que $$A=\left\{{65,66,67,68,69,70,71}\right\}$$ y $$B=\left\{{1,2,3,4,5,6,7}\right\}$$, vemos que todos los elementos de B deben de ser divisores menores de algún elemento de A. Si 7, por ejemplo, no fuera divisor de algún elemento de A, entonces eso significaría que en A hay más de 7 elementos, y no es cierto.

Por tanto, es necesario, siempre que todos los elementos de $$B$$ sean divisores de algún elemento de A.

[cerrar]

A partir de aquí expuse el juego, sobre la observación de que para valores de $$m$$ muy pequeños suele aparecer una relación biyectiva entre $$B$$ y $$A$$, si obviamos el 1 como divisor en los números compuestos.

Por ejemplo, $$m=3, n=9, z=2; A=\left\{{10,11}\right\}, B=\left\{{1,2}\right\}$$

10: 2 (dado que 2x5=10)
11: 1 (dado que 1x11=11)

Sin embargo, en seguida esto se complica. De modo que se planteó el juego, cuya idea de fondo consiste en mostrar que para todo $$m$$ o bien existe una relación biyectiva entre $$B$$ y $$A$$ o bien se produce un "solapamiento".

Voy a reformular las reglas del juego para hacerlas más claras:

1) Esta primera regla no la apunté en el post anterior porque la di por hecha antes de presentar el juego. Pero creo que será más claro si la presento como regla inicial:

Cuando $$m$$ empieza a ser ya un poco grande los elementos de su conjunto $$A$$ pueden tener varios divisores menores que sean, a la vez, elementos de $$B$$. Por ejemplo:

$$m=7, n=49, z=6 ; A\left\{{50,51,52,53,54,55}\right\}; B=\left\{{1,2,3,4,5,6}\right\}$$

50: 1,2,5
51: 1,3
52: 1,2,4
53: 1
54: 1,2,3,6
55: 1,5

Ahora cabe discernir que todos los elementos de $$A$$, menos el 53, tienen divisores menores que son redundantes, en el sentido que son divisores de otros divisores del propio elemento. Por ejemplo: en el 52, que tiene por divisores menores a $$(1,2,4)$$ está claro que tanto el 1 como el 2 son redundantes si ya tomamos el 4 como divisor menor. Con lo cual nos basta con tomar el 4 como divisor menor real de 52.

Entendido esto, entonces se estipula como regla inicial del juego que se eliminan todos los divisores menores redundantes (divisores menores que son ya divisores de algún divisor del elemento de A que se analiza)

Con esta regla inicial el ejemplo anterior nos queda:

50: 2,5
51: 3
52: 4
53: 1
54: 6
55: 5

Observación: con esta regla inicial todos los 1 se van como divisores de aquellos elementos que ya tiene otros divisores. Por tanto, sólo en los números primos no se aplica esta regla inicial por carecer de divisores redundantes.


2) Una vez asumido esta regla inicial, vemos, sin embargo, que el 50 y el 55 repiten el 5 como divisor. Esto es otro tipo de redundancia que se puede eliminar siemprea plicando la regla 4,a y 4.b que ya se comentó en el post anterior.

La regla 4.a la podemos volver a escribir como: si un elemento de B solo puede ser divisor menor de un único elemento de A y de ningún otro, entonces necesariamente será un divisor menor de él.

La regla 4.b la podemos volver a escribir como: un elemento de B puede ser divisor menor de varios elementos de A, pero si uno de estos elementos de A solo puede tener a ese elemento de B como divisor menor, entonces, el elemento de B sólo será divisor menor de este elemento de A. Para los demás elementos de A ese divisor es redundante.

En el ejemplo anterior aplicamos estas 2 reglas del siguiente modo:

1) el 2 sólo puede ser divisor menor de 50, por tanto sí o sí será un divisor menor suyo por la regla 4.a.

2) El 5 puede ser divisor del 50 y del 55, sin embargo el 55 es necesario que tenga el 5 como divisor para tener, como mínimo uno. En cambio para el 50 el 5 es un divisor redundante, dado que debe tener sí o sí el 2. Por tanto, el 5 sólo es necesario que sea divisor del 55 por la regla 4.b.

Por tanto el ejemplo queda:

50: 2
51: 3
52: 4
53: 1
54: 6
55: 5

Se aprecia como siguiendo estas reglas volvemos a obtener relaciones biyectivas entre A y B para varios valores de $$m$$.

Spoiler

Puede darse que haya elementos de B que pueden ser divisores de varios elementos de A, y estos elementos de A puedan tener, además, a otros divisores menores. Es decir, que no se aplica ni la regla 4.a ni la 4.b. En tal caso, resulta trivial decidir cómo realizar la biyección entre A y B.

[cerrar]

sin embargo cuando $$m$$ se hace ya un poco grande resulta imposible obtener estas relaciones biyectivas. ¿Por qué?

Porque entonces aparecen "solapamientos".

Solapamiento: se produce cuando por la regla 4.a tenemos que dos o más elementos de B son los únicos divisores posibles de un mismo elemento de A, porque no pueden ser divisores de ningún otro elemento de A.


Sin embargo, el solapamiento implica que se liberen elementos de A. ¿Por qué? Por qué si no se liberase elementos de A significaría que esos elementos de B que son divisores de un mismo elemento de A son redundantes. Pero si al principio habíamos aplicado la regla inicial no es posible que se de eso, porque se han eliminado ya todos los divisores redundantes.

Por tanto, el solapamiento se produce cuando varios elementos de B que no son divisores entre sí, deben ser divisores menores de un mismo elemento de A por la regla 4.a. Y ello se puede interpretar como que la posible relación biyectiva entre $$B$$ y $$A$$ se rompe de modo que todos los elementos de B se relacionan con algún elemento de $$A$$, aunque no de forma exclusiva; como si dejasen algún elemento de A sin relacionarse.

Sin embargo, todo elemento de A debe relacionarse, también, con algún elemento de B. Lo que sucede es que se relaciona con aquellos elementos de B que sean divisores de los elementos de B que se han solapado -normalmente serán esos divisores comunes entre los elementos de B que se solapan.


Pongamos un ejemplo de esto.

Ejemplo, con $$m=10, n=100, z=9; A=\left\{{101,102,103,104,105,106,107,108,109}\right\}, B=\left\{{1,2,3,4,5,6,7,8,9}\right\}$$:

Lista de todos los divisores menores de los elementos de A
101:1
102:1,2,3,6
103:1
104:1,2,4,8
105:1,3,5,7
106:1,2
107:1
108:1,2,3,4,6
109:1

Se limpian los divisores redundantes por la regla inicial:

101:1
102:6
103:1
104:8
105:3,5,7
106:2
107:1
108:4,6,9
109:1

Se aplica ahora la regla 4.a y 4.b

regla 4.a: para el 4 sólo es posible ser divisor de 108, por tanto, será sú divisor.
regla 4.b: el 6 puede ser divisor de 102 y 108, sin embargo, sólo es necesario que lo sea para 102 dado que es su único divisor posible. por tanto, que también sea divisor de 108 es redundante y se elimina.

Ahora queda:

101:1
102:6
103:1
104:8
105:3,5,7
106:2
107:1
108:4,9
109:1

Y apreciamos cómo se producen 2 solapamientos:

1) uno simple en 108(4,9), que libera un elemento de A. Este elemento de A se relacionará con algún divisor de 4 y/o 9. En este caso el divisor común de 4 y 9 es el 1, y será el divisor menor de uno de los elementos de A que quedan "libres" 

2) y otro de doble, en 105 (3,5,7) liberando 2 elementos de A en total. En concreto, dado que 3,5,7 sólo tienen el 1 como divisor común, se da que será el 1 el divisor menor de los dos elementos liberados.

Más ejemplos:

$$m=9, n=81, z=8, A=\left\{{82,83,84,85,86,87,88,89}\right\}, B=\left\{{1,2,3,4,5,6,7,8}\right\}$$:

82:1,2
83:1
84:1,2,3,4,6,7
85:1,5
86:1,2
87:1,3
88:1,2,4,8
89:1

Se depuran los divisores redundantes con la regla inicial:

82:2
83:1
84:4,6,7
85:5
86:2
87:3
88:8
89:1

Y ya no hay más redundancias, pero lo que sí hay es un solapamiento doble:

Solapamiento del 4-6, cuyo divisor común es 2. Y ciertamente 2 es el divisor menor del elemento "liberado".

Solapamiento del (4-6:2)-7, cuyo factor común es 1. Y ciertamente 1 es el divisor menor del elemento "liberado".

De modo que debido al solapamiento encontramos dos elementos de A con el 2 como divisor menor, y 2 elementos de A con el 1 como divisor menor, sin que se produzcan redundancias.


...

siendo este juego siempre así entonces se demostraría que la conjetura de Andrica (y Legendre) es cierta. Es decir, si se da que para todo $$m$$ su B y su A o son biyectivos o si no lo son es porque se ha producido un solapamiento.