[Restituto]

lo que entiendo, es que aquí se define el conjunto infinito como un conjunto de elementos sucesivos sin fin, que entiendo que es la idea de infinito potencial. De este axioma, así escrito, no se deduce que los conjuntos infinitos son un "todo" y por ello, sean infinitos actuales.

El infinito potencial no tiene nada que ver con la idea de conjunto. Estos se definen de manera independiente de ninguna noción temporal o potencial. Tendrías que definir lo que entiendes por ser un "todo" que tanto te molesta pero creo que lo estás usando como sinónimo de conjunto y una vez más no estás admitiendo un conjunto(un "todo") infinito ya que lo que tú entiendes por infinito es un proceso temporal sin fin. Nada que ver con un conjunto en matemáticas ni con los conjuntos infinitos de ZFC. Parece que lo que te confunde es que se use un conjunto inductivo y que tú relaciones la inducción con un proceso temporal, quizás por haber visto alguna ilustración pedagógica del principio de inducción como algo que no acaba nunca o como iteración temporal sin fin temporal. Pues debes saber que no hay nada de eso en la definición formal de inducción.

[argentinator]

Pongo este post ahora para que lo contesten luego  de saciar a RDC, no quiero que se desvíe la atención al creador del hilo, que me hace mucho ruido, y encarno lo que observa de otra manera.

Entiendo lo que me dicen  que "asignar al simbolo $$\infty$$ propiedad numérica para incluirlo dentro del conjunto de los números naturales es un error". Pero quiero entender porqué

Si cuando comenzamos a crear dicho conjunto de naturales nos proponemos las siguientes premisas:

• si es conjunto inicialmente está vacío, se puede incorporar el primer natural el 1 (formalmente la oración escribanla como quieran) su cardinal era el cero y ahora por tener un elemento será el uno.
• luego se incorpora otro natural que no este repetido con los anteriores,que para seguir un orden y no saltarse ninguno, será el último introducido mas una unidad. Con esto queda planteado el problema como lo empieza RDC, el cardinal del conjunto al momento de evaluarse será igual al último natural introducido.

Pero cuando llegamos al infinito detecto que los matemáticos nos prohiben (a los mundanos que intentamos entender de qué va la cosa o como se la piensa)  usar dos términos para referirnos a ese conjunto:


Uno es que no podemos decir que en el conjunto están "todos" los naturales, ya que dicen que siempre habrá uno más, pero si esto fuera cierto en el conjunto de "los naturales"  $$\mathbb N$$ no estarían "todos" lo naturales ya que esa palabra no se puede usar, así que todos es usado a conveniencia, para no poder incluir el simbolo del cardinal en el conjunto, ya que por premisa siempre fue igual a uno de los que se había introducido al conjunto.  Pues cambian la lógica con un "salto".

Y también nos prohíben de la palabra "último", que sería justamente el último elemento introducido al conjunto y igual a su cardinal.


Aver que entiendo que el conjunto de los naturales siempre hay uno más y luego otro, pero que tan dificil es plantearse que en esa sucesión de números que se van incorporando, el mas grande de "todos"  sin que interese su valor numérico es el que se le asigna el simbolo $$\infty$$, que justamente es el último que has puesto en el conjunto... y si ahora me dices pero si puedes poner mas, no tienes último, pero claro, ningún problema, ese que había sido mal rotulado como infinito deja de serlo, será finito y nuevamente el mayor de "todos" coincidirá con el "último" y nuevamente es rotulado con el simbolo $$\infty$$, y esto sucederá cada vez que me digas que no hay último, porque hay uno más , bueno ese "más" también pertenece al conjunto,eso es básico, no está fuera como me lo pretenden vender que es mas grande, ese "más" será el nuevo último, ese tiene una biyección con el cardinal anterior mas una unidad, no pueden borrarme de un plumazo la biyección lógica entre el último "dentro del conjunto" y el cardinal.


Que esto provoca que no se puede hacer la biyección yo diría que todo lo contrario, si no puedes incluir a los naturales el valor de su cardinal mas una unidad es que no has podido poner en el conjunto todos los naturales. Así $$\infty$$ en particular me parece que biyecta con uno, no importa cuál es su número,(si quieren usar el mismo simbolo o no) que sí está dentro del conjunto porque se sabe que allí están "todos".


Antes que  me citen por llevar la contra quiero exponer un ejemplo, para entender el punto donde me aparto de vuestra lógica. (quien me ha visto y quién me verá...  escribí "vuestra" ya no me leo en argentino, soy bilingüe...)

Supongamos que el resto del universo que me incluye está compuesto por conejos, como otra cosa no tengo para hacer me pongo a contarlos, y dejar registro de cuál fue contado y cual no, voy poniendo atención que la cantidad que llevo contada es igual a la de los conejos que pasaron por el proceso de conteo, siempre el último que cuento es el valor del cardinal del conjunto.

Bien como en ese universo el tiempo es irrelevante, y por ser lo único diferente a los conejos puedo ser lo suficiente habilidoso en mi tarea y contar todos lo que he visto, obviamente por mil motivos ya enumerados previamente en este y otros hilos hago la abstracción de que si puedo escribir el número que lo represente aunque se del tamaño del propio universo,   y ahora me criticaran porque no puedo ser lo suficientemente hábil para contarlos a todos...pero veamos a que voy.


Cual es la razón para ese número me lo ahorre de escribir y escriba solo el simbolo $$\infty$$, he descrito cuál es la función biyectiva entre un natural y un conejo del conjunto, cuál es la razón para que el último de todos ellos no tenga el mismo valor numérico que represente $$\infty$$...  para ustedes creo entender que es porque no hay último hay mas conejos, y claro ,  esa es la razón por la que elegí conejos, estos hacen de las suyas y aparecen por doquier mas conejitos, recien nacidos  y mi habilidad es tal que puedo contar a la par de cada uno de los que nacen, pregunto porque si los tengo a todos no puedo ponerle al último el valor de su cardinal, que me da igual que conejo sea el que ha nacido, es un hecho que el último que nazca pertenece al conjunto y está incluido en la palabra todos, y le asigno el simbolo $$\infty$$ .. bien me dirán que hiciste con el que antes lo habías denominado así ... ese en menor que infinito, así que es finito, tiene un número grande pero definido, tanto como el 1 o el 2....
En definitiva porque la biyección no permite que un conejo de todo el conjunto lleve el número exactamente igual al del cardinal del conjunto, cuando esa era la premisa.. con que se come ese salto... espero haber sido claro , si parto de una premisa, último número en biyección del conjunto = cardinal,*** porque la tengo que dejar de lado para dejarlos conformes y decir que en el conjunto no hay un elemento que fue biyectado con un natural y justamente es el cardinal del conjunto... Porque al conjunto no le permitimos cosas que al cardinal sí.

Se entristece mi corazón... 

____________________________


En el lenguaje de programación C, uno puede usar un identificador, digamos J,
para designar una posición de memoria de manera indirecta,
que a su vez almacena un valor V.
Ese valor V puede variar a lo largo de la ejecución del programa,
así que depende del tiempo t.

Por lo tanto, en un instante dado, el valor V de la variaje J puede ser igual a 5,
y en un instante posterior puede ser igual a 80, y así sucesivamente.

O sea que J no designa un valor prefijado.

En matemática se trabaja de manera algo diferente.

En un determinado contexto, se determina primero la existencia de un determinado objeto,
y a ese objeto unívocamente determinado uno puede "bautizarlo" ya sea con un nombre o con un símbolo.
Ese símbolo denota el objeto en cuestión.

Por lo tanto, el significado de un símbolo no puede cambiarse de un párrafo a otro,
salvo por mera comodidad, y a sabiendas de que ya no se usará para denotar un determinado objeto, sino otro.

Ahora bien, en cualquier caso, los objetos designados por los símbolos no cambian.

Si tengo tres cabras, puedo usar el símbolo 3 para designar esa cantidad,
pero también puedo usar la notación III, o la palabra "tres".
Eso no importa, pues son sólo designaciones de un objeto,
que en este caso es la cantidad tres,
que por si quedan dudas, sería la cantidad obtenida tras sumar uno más uno más uno.

Si ahora resulta que quiero usar el símbolo 3 para designar otra cantidad, digamos cuatro, que serían las patas de un caballo, la cantidad "tres" seguirá siendo 'tres" aún cuando yo use el símbolo 3 para designar de un momento a otro a otra cosa, como la cantidad "cuatro".

Una cosa son los "objetos" y otra cosa son los símbolos que "designan objetos".
Los objetos que designan objetos siguen reglas sintácticas.
La asociación mental que se hace de un símbolo hacia un objeto es lo que se llama "semántica".

Si en un mismo contexto uso un símbolo para designar dos objetos distintos,
estoy haciendo una estupidez.
No es algo inteligente, ni ingenioso, ni puedo engañar a nadie con eso,
sino que tan sólo me engaño a mí mismo.

Es como el pájaro que escondía la cabeza bajo tierra para que no lo vean.

Es una falacia manejarse así,
que consiste en cambiarle el significado a un símbolo o a una palabra
"medio de camino" para que en un momento designe una cosa,
y unos renglones más abajo designe otra cosa.

Porque si aceptamos eso, tengo que aceptar que un tríangulo tiene 3 ángulos y que,
por lo tanto, es posible que la suma de sus ángulos sea 360, como le pasa a un cuadrado.
En el medio, me cambiaste el significado de 3, que era "tres" por "cuatro".

Ahora, si tan prohibido y ridículo es hacer eso en ese caso,
¿por qué te parece válido actuar así con el símbolo \(\infty\)?
Es un símbolo como cualquier otro y,
matemáticamente, designa una cosa o designa otra cosa.
Si me estás cambiando en cada renglón cuál es el significado de \(\infty\),
resultará que siempre vas a tener razón, o que siempre estarás equivocado.
En cualquier caso, no sé de cuál significado de \(\infty\) me estás hablando en cada momento del discurso.

______________________

Luego está la cuestión de los conjuntos.

Un conjunto es una entidad tal que, para cada posible x que se te pueda ocurrir (y que no se te pueda ocurrir también), o bien x pertenece al conjunto, o bien x no pertenece al conjunto.

Después de todo, decir "conjunto" o "clase" o "agrupación" o "amontonamiento",
son sinónimos, que refieren a categorías conceptuales.

Con esto quiero decir que un  "conjunto" es una categoría de objetos que uno mismo define desde el propio intelecto.
Los "conjuntos" no existen en la naturaleza, sino que uno los define, como un modo de clasificar objetos que tienen un mismo atributo.

Es común ver que se habla de conjuntos definidos por extensión y por comprensión.
En realidad, definir por extensión es un caso particular de definir por comprensión.
Un conjunto lo define uno.

_____________________


Ahora, si los números naturales son unos objetos que no te gusta agrupar en un conjunto bien definido, o considerás que no se puede, entonces estás diciendo,
y de eso tenés que hacerte cargo,
que los números naturales son entidades que no pueden conformar un conjunto.

O sea, no es posible afirmar que hay un conjunto perfectamente bien definido de tal manera que x pertenece a dicho conjunto si y sólo si es un número natural.

Pero entonces eso equivale a afirmar que los números naturales son una entidad que no está claramente definida.
Porque si lo estuvieran, conceptualmente definirían un conjunto.

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Por último, que uno no tenga claro qué le pasa a los números naturales, no signfiica que no estén bien definidos, sino que tal vez es uno el que no los entiende.

Lo que hace RDC es achacarle las propias deficiencias intelectuales
a las teorías vigentes, y eso no es una actitud honesta.

Que no te pase lo mismo.

[RDC]

 El infinito potencial no tiene nada que ver con la idea de conjunto. Estos se definen de manera independiente de ninguna noción temporal o potencial.

He estado pensando un poco en todo esto. A ver qué te parece. Vamos por puntos:

1) Los axiomas ZFC no definen qué es un conjunto, con lo cual debemos tirar de intuición. En este sentido, es admisible tomar la idea de conjunto por ideas intuitivas del tipo una colección de elementos, una serie de elementos, una lista de elementos, una secuencia de elementos, etc. Esto me lo criticó Argentinator, pero está claro que la idea de conjunto no está definida axiomáticamente y es puramente intuitiva.

2) Los axiomas ZFC tampoco definen qué significa que un conjunto contenga un elemento. Es otra noción que debemos suponer intuitivamente.

3)La definición de conjunto infinito o inductivo: la idea de que una colección de elementos siempre contiene, también como elemento, el sucesor de cualquier elemento del conjunto, con lo cual esa colección es una "sucesión perpetua de elementos".

4) definición de infinito potencial: que una serie infinita de elementos sólo existe potencialmente, es decir, como idea de que siempre podemos crear un subcolección de la serie con tantos elementos como queramos. Y es más, agregando o quitando elementos a la serie no por ello tendrá más o menos elementos. Por eso se concibe como una colección abierta de elementos.

5)Definición de infinito actual: que una serie infinita de elementos existe realmente como algo dado y autodefinido, de modo que está cerrada; no se le puede agregar ni quitar ningún elemento sin que ello perjudique a su entidad ¿Y cuantos elementos tiene? Un número indefinido.   

6) No es cierto, como leo por ahí, que a nivel filosófico (la teología es una parte de ella) se haya negado el infinito real hasta Cantor y los logicistas. Lo que, en general, siempre ha costado un porrón de justificar es el poder pasar del infinito potencial al real. 

7) Así pues, entender un conjunto infinito como potencial significa, que admite ir encontrando  subconjuntos tan grandes como queramos; es concebir una serie de elementos como una sucesión recursiva sin fin y ya está. Mientras que entender un conjunto infinito como actual significa que esta serie recursiva sin fin es cerrada: mirada en global, tiene todos los elementos que tiene que tener, ni más ni menos.

Confieso que visto así debo de retractarme de algunas cosas que he dicho.

El axioma del infinito en ningún caso deja claro si un conjunto infinito debe tratarse, exclusivamente, en potencia o en acto.  Y no hace falta. ¿Por qué?

Porqué el infinito potencial y el infinito actual sólo son dos perspectivas diferentes desde las cuales "mirar" un conjunto de infinitos elementos, acaso el conjunto de los naturales.

A modo de metáfora: cabe ver un conjunto infinito como una montaña altísima: el infinito potencial sería la visión que tenemos de ella mientras vamos subiendo la montaña, y el infinito actual la visión que tenemos de ella sobrevolando la cima.

¿Qué significa eso? A ver como lo véis:

Si yo defino el conjunto de los naturales de forma comprensiva (aunque habría que matizar esto), con ello estoy "mirando" el conjunto, que es infinito, desde arriba, por así decirlo. Así pues, el conjunto de los naturales como tal, visto así "desde fuera", es un infinito real: tiene todos los elementos que tiene que tener

Ahora bien, si estoy intentando emparejar números naturales con elementos de otro conjunto de forma exhaustiva (recursivamente), estoy mirando el conjunto de los naturales ya desde "dentro" y por ello lo estoy mirando como un infinito potencial. Con lo cual, sólo puedo emplear herramientas típicas para tratar infinitos potenciales (límites, aproximaciones recursivas, etc), tal y como bien hace Cantor cuando trata de relacionar biyectivamente los naturales y los racionales mediante recursión.

Pero cuando Cantor ataca la biyectividad entre los naturales y los reales entre 0 y 1, donde  emplea la diagonalización (que es un proceso exhaustivo y recursivo), ahí no tiene en cuenta que está "mirando" el conjunto desde "dentro". Y de golpe, al final, termina tratándolo como si estuviera fuera del conjunto, con lo cual toma los naturales como un infinito real -imaginando que la lista creada tiene ya todos los naturales.

Pero entiendo que no puede hacer eso con la diagonalización. Con otro método que no sea recursivo sí podría.

[Richard R Richard]

Se entristece mi corazón... 

Me haces acordar a "Tengo el corazón con agujeritos..."

En un determinado contexto, se determina primero la existencia de un determinado objeto,
y a ese objeto unívocamente determinado uno puede "bautizarlo" ya sea con un nombre o con un símbolo.
Ese símbolo denota el objeto en cuestión.

Ok,  llamo a 3.14159265 como $$\pi$$ le doy un valor a un simbolo, intuyo que lo mismo quieres que haga con $$\infty$$ que es un simbolo bautizado para un valor , pero creo que la cosa no va por allí ya que $$\infty$$ no tiene un valor para fijarle.

Por lo tanto, el significado de un símbolo no puede cambiarse de un párrafo a otro,
salvo por mera comodidad, y a sabiendas de que ya no se usará para denotar un determinado objeto, sino otro.

Ahora bien, en cualquier caso, los objetos designados por los símbolos no cambian.

Si tengo tres cabras, puedo usar el símbolo 3 para designar esa cantidad,
pero también puedo usar la notación III, o la palabra "tres".
Eso no importa, pues son sólo designaciones de un objeto,
que en este caso es la cantidad tres,
que por si quedan dudas, sería la cantidad obtenida tras sumar uno más uno más uno.

Si ahora resulta que quiero usar el símbolo 3 para designar otra cantidad, digamos cuatro, que serían las patas de un caballo, la cantidad "tres" seguirá siendo 'tres" aún cuando yo use el símbolo 3 para designar de un momento a otro a otra cosa, como la cantidad "cuatro".

Una cosa son los "objetos" y otra cosa son los símbolos que "designan objetos".
Los objetos que designan objetos siguen reglas sintácticas.
La asociación mental que se hace de un símbolo hacia un objeto es lo que se llama "semántica".

Veo que intentas explicarme que una vez que defina el valor del simbolo no lo puedo cambiar , era una forma de expresar la idea detrás de lo que pienso.

Si en un mismo contexto uso un símbolo para designar dos objetos distintos,
estoy haciendo una estupidez.

Totalmente de acuerdo, yo apunto un único concepto, "el último de todos de los que hay en un conjunto",  pero no un único valor, ya que si lo asigno tendré otro superior en el conjunto que lo reemplace, eso es lo creo que me indicas.

No es algo inteligente, ni ingenioso, ni puedo engañar a nadie con eso,
sino que tan sólo me engaño a mí mismo.

RDC , elabora la idea de progresar en la construcción de un conjunto ordenado de números naturales, partiendo de la unidad y se observa que el último ingresado es igual al cardinal del conjunto, es un hecho para los conjuntos finitos.


Yo no me engaño si pongo la premisa que el valor de cualquier cardinal pertenece al conjunto cuanto el conjunto es finito, porque debo abandonar o cambiar de idea  cuando el conjunto es infinito, esa es la pregunta...

Es una falacia manejarse así,
que consiste en cambiarle el significado a un símbolo o a una palabra
"medio de camino" para que en un momento designe una cosa,
y unos renglones más abajo designe otra cosa.

  Te refieres a que le cambio el valor a $$\infty$$ para ponerle otro superior luego,  yo digo que siempre le pongo el valor del último, sin importar cual es el valor, es solo es el concepto lo que no varía, que tu me digas que eso no es lo que $$\infty$$ significa, que es otra cosa, y te comprendo,  eso sería lo que debería razonar hasta que me resulte lógico y no lo que ahora pienso.

Porque si aceptamos eso, tengo que aceptar que un tríangulo tiene 3 ángulos y que,
por lo tanto, es posible que la suma de sus ángulos sea 360, como le pasa a un cuadrado.
En el medio, me cambiaste el significado de 3, que era "tres" por "cuatro".

Sí, parece que te cambio un valor por otro superior, pero nunca te cambio la idea  de que es el último,
de hecho haber asignado como último al que no lo era es un error, pero lo explico para que se entienda que el último es siempre un solo elemento, un elemento mas dentro del conjunto, el mas grande de todos lo naturales, este no será el que yo designe porque habré fallado, siempre habra uno mas grande, pero no puedes negar que pertenecerá al conjunto, porque siempre puedo hacer una biyección a un conjunto que contiene a cada unos de todos los cardinales que pueden tener todos los conjuntos que se han creado o se podrán crear con diferente cantidad de elementos, entonces el cardinal de los conjuntos infinitos debe tener su relación de biyección con uno de los naturales, justamente el mas grande, el resto son todos valores finitos inferiores, no entiendo porque lo niegan.

Ahora, si tan prohibido y ridículo es hacer eso en ese caso,
¿por qué te parece válido actuar así con el símbolo \(\infty\)?
Es un símbolo como cualquier otro y,
matemáticamente, designa una cosa o designa otra cosa.
Si me estás cambiando en cada renglón cuál es el significado de \(\infty\),
resultará que siempre vas a tener razón, o que siempre estarás equivocado.
En cualquier caso, no sé de cuál significado de \(\infty\) me estás hablando en cada momento del discurso.

Es que te acabo de decir que no veo a $$\infty$$ como un símbolo que denote un valor  definido como  47 o 23569, sino al concepto del último de una lista infinita o el mas grande de todos dentro del conjunto de los naturales, donde me ves fijar el valor para cambiárselo mas adelante, solo lo comenté para decir que cuando argumentan que hay uno mas grande, el que digan que es mas grande, ese es el que será $$\infty$$ y si lo quieren redefinir sumando uno mas , es problema de otro, yo digo que es el mas grande y por supuesto  no hay 2 o mas grandes, es único es  el cardinal de los conjuntos infinitos, (ya veré cuando me digan que hay infinitos mas grandes que otros , por ahora  quiero entender este el mas simple), pero nada dije valor definido, y por supuesto para mi está dentro o incluido en el conjunto de los naturales, es el que no tiene un valor superior ya que el mismo es justamente ese valor superior, del mismo modo que si no incluyes al cero puedes definir que el 1 es el menor de todos los naturales, resulta que puedes definir que $$\infty$$ es el mayor de todos, cual es el problema en entenderlo de ese modo. 

Un conjunto es una entidad tal que, para cada posible x que se te pueda ocurrir (y que no se te pueda ocurrir también), o bien x pertenece al conjunto, o bien x no pertenece al conjunto.

Después de todo, decir "conjunto" o "clase" o "agrupación" o "amontonamiento",
son sinónimos, que refieren a categorías conceptuales.

Con esto quiero decir que un  "conjunto" es una categoría de objetos que uno mismo define desde el propio intelecto.
Los "conjuntos" no existen en la naturaleza, sino que uno los define, como un modo de clasificar objetos que tienen un mismo atributo.

Bien , nada de ruido por allí.

Es común ver que se habla de conjuntos definidos por extensión y por comprensión.
En realidad, definir por extensión es un caso particular de definir por comprensión.
Un conjunto lo define uno.

Esto no lo tengo práctico , pero cuando defines {1} por extensión estas diciendo que incluyas a todos los elementos que cumplan la propiedad de ser  1 y si agregas mas elementos {2,...} , agregas la clausula "o" y lo incluyes por comprensión ,,,,  bien creo que por allí voy.

Ahora, si los números naturales son unos objetos que no te gusta agrupar en un conjunto bien definido, o considerás que no se puede, entonces estás diciendo,
y de eso tenés que hacerte cargo,
que los números naturales son entidades que no pueden conformar un conjunto.

No dije eso, revisaré , si lo dí a entender.

O sea, no es posible afirmar que hay un conjunto perfectamente bien definido de tal manera que x pertenece a dicho conjunto si y sólo si es un número natural.

Pero entonces eso equivale a afirmar que los números naturales son una entidad que no está claramente definida.
Porque si lo estuvieran, conceptualmente definirían un conjunto.

No te sigo, si creo que son un conjunto, que hay una forma de definir por compresión a los naturales, si tu lo defines que partes del 1 y siempre hay uno mas, ese "mas" será hasta el infinito , porque sino te contradices, no se cual es la forma de definir a los naturales pero el 1 es el mas pequeño y es $$\infty$$ el mas grande, cual es el drama,  será que falla cuando le quieres sumar uno mas, pues defínanoslo de otra manera... si me preguntas cual es?, ni idea!!! te doy por respuesta,  si me dices que al infinito le quieres sumar uno , estas afirmando algo que no es cierto nada puede ser mas grande que el infinito así que el número del que partías en la suma no es el infinito, al infinito no lo puedes sumar a nada ya que no hay nada mas grande que él...pregunto porque parece extraño, hay operaciones con el infinito?, que me perdí en estos años?... preguntar eso es un error de concepto, me parece en este contexto. 

Por último, que uno no tenga claro qué le pasa a los números naturales, no significa que no estén bien definidos, sino que tal vez es uno el que no los entiende.

Lo que hace RDC es achacarle las propias deficiencias intelectuales
a las teorías vigentes, y eso no es una actitud honesta.

Que no te pase lo mismo.

Es que no planteo cuestiones tan filosóficas, tan solo mejorar con criterio o no, lo que uno conoce, expresar por aquí lo que me parece lógico y lo que no, y si es que lo que no me parece lógico es lo correcto para otros, intento de aprender porque a otros  les parece que sí lo es.


Gracias por el intento de aclararme, para nada intento formar teoría , es evidente que hago aguas, pero quiero saber por donde.

[Luis Fuentes]

Hola
 
 Richard R Richard:

 Por resumir, simplemente si a lo que normalmente llamamos naturales le añades el elemento \( \infty \) como un elemento mayor que todos los demás, obtenemos un nuevo conjunto diferente de lo que habitualmente entendemos por naturales. No está ni mal, ni bien. Es otra cosa.

 Ese nuevo conjunto no cumple las propiedades que si cumple el conjunto habitual de números naturales. Por ejemplo:

 - No cumpliría que todo elemento tiene un siguiente.
 - No cumpliría el principio de inducción (o no estaría claro como establecerlo).
 - Si uno empieza a usar los naturales para construir luego los enteros, los racionales, etcétera... y las operaciones de suma y producto (o técnicamente dotarlos de estructura de grupo, anillo, cuerpo), el infinito nos daría problemas. No habría una manera adecuada de definirle un opuesto sumativo que se comportase bien con la operación suma (\( x+y=x\quad \Rightarrow{}\quad y=0 \) para los naturales; pero no si añades el infinito).
 
 Y más cosas. Nada de esto sería 100% dramático; uno podría considerar el infinito como excepción, para forzar que estas construcciones siguiesen funcionando; pero, ¿para qué esa complicación?.

 Más filosóficamente o si quieres históricamente, el conjunto de los naturales pretende ser el conjunto de números que uno usa para contar conjuntos FINITOS; esa es la esencia. Así que tampoco tiene mucho sentido meter dentro algo que represente el número de elementos (sea lo que sea que entiendas por eso) de un conjunto infinito.

 ¿Y todo esto por qué?¿Por qué te parece que si los conjuntos FINITOS de la forma \( A_n=\{1,2,\ldots,n\} \) al final aparece el símbolo que usamos para denotar su cardinal, entonces al tomar TODOS los naturales también debería de aparecer "al final" un símbolo que represente su cardinal?. Me parece un motivo pobre y bastante arbitrario; los conjuntos infinitos son esencialmente distintos a los finitos. Lo más llamativo es que uno infinito es biyectivo con una subconjunto propio; entonces es ingenuo pretender extender las propiedades de los finitos a los infinitos. Por otro lado también hay conjuntos finitos que no cumplen esa propiedad \( \{4,5\} \), no tiene como mayor elemento el símbolo que usamos para denotar el cardinal \( 2 \).

 Entonces añadir \( \infty \) a los naturales por ese motivo me parece un capricho que complica más cosas que las que se supone que simplifica.

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola, Luis , muchas gracias.

Con esa explicación de que es otra cosa y no contradictorio, zanjo, el tema, no cito por partes, para evitar hacer largo el hilo que no espropio, pero fundamentalmente buscaba eso que complicaciones trae pensarlo de la manera que expuse.
Y si recuerdas eso de que los conjuntos infinitos son biyectivos a un subconjunto de ellos mismos,  me trajo duda e incredulidad y participe de otros hilos.
Es que como esta planteada la teoría se ve que de buenas a primera no me cierra, que le voy a hacer,  obviamente es por desconocimiento de consecuencias y no porque crea que la teoría este mal en algún punto.
Gracias de nuevo.

[feriva]

Ok,  llamo a 3.14159265 como $$\pi$$ le doy un valor a un simbolo, intuyo que lo mismo quieres que haga con $$\infty$$ que es un simbolo bautizado para un valor , pero creo que la cosa no va por allí ya que $$\infty$$ no tiene un valor para fijarle.

Sí podemos fijar un valor y llamarlo infinito, lo que pasa es que tendrá infinitos representantes así 367..., 106..., los que quieras, y todos son igual de "grandes" al no terminar sus cifras, no siempre se podrán comparar unos con otros, y comparados con los números finitos siempre serán mayores que cualquiera de ellos, no se pueden factorizar en una cantidad finita de primos... van a dar prolemas, como ya ha dicho Luis.
Si quieres visualizar un contratiempo que surje en particular, piensa en el útlimo teorema de Fermat: no existen tres enteros que cumplan \( a^{3+n}+b^{3+n}=c^{3+n} \). Entonces ocurre que, si metes representantes del infinito, ésos si cumplen la igualdad, porque van a funcionar a modo de irracionales en las cuentas (para los irracionales si es cierta). Así que, para poder demostra cosas por contraste, necesitamos no considerarlos enteros (no ya solamente naturales) del mismo modo que en cuestiones de análisis necesitamos no considerarlos reales para poder decir que no existe límite, pues al decir esto estamos diciendo que esas cosas no existen como números reales.

Algunas cosas más que te pueden ayudar a ver por qué se considera así:

Un número real escrito en una base numérica consta de una parte entera y una mantisa que se separa por una coma. Si la parte “entera” no termina nunca, ¿existe un lugar donde poner la coma a partir de la cual sigue la mantisa? No. Luego no cumple con lo que debe cumplir un número real escrito en una base numérica.

Otro ejemplo que puede ser útil:

Sea este conjunto \( \{1,0357...;\,2,5\} \).

¿Cuál es su cardinal?

Como no sabemos cómo puede seguir esta representación 1,0357... se podría entender, si se quisiera o definiera así, que está representanto varios números distintos, un conjunto de números que empiezan con esas cifras. Ese conjunto que vemos metido en las llaves, como mínimo, tendrá cardinal 2 entendiéndolo como digo, no se podría determinar, también podría ser infinito (y dentro de que fuera infinito, tampoco podríamos decir si es infinito numerable o si es más grande).

Saludos.

[argentinator]

Richard:

El símbolo \(\infty\) no tiene nada especial.
Es un símbolo como cualquier otro.
Es tan insulso como el símbolo 木,
un caracter chino que vaya uno a saber qué diablos significa.

Los símbolos son trazos que no significan nada en un principio,
y luego se les otorga un significado.
Ese significado tiene que estar bien definido.

Si le asignás un símbolo a algo "difusamente definido",
entonces estás haciendo algo que es lógicamente inválido.

___________________

Ahora bien.
Tratando de discernir qué es lo que has tratado de hacer,
se puede llevar la discusión para otro lado.

Estás usando un símbolo fijo para un concepto, según tus palabras, o mejor dicho,
para designar un objeto definido según un concepto o algo por el estilo:
el último elemento de un conjunto.

Consideremos la familia de conjuntos siguiente:

A = {2,3,5}
B = {3,5,7,11}
C = {7,11,13,17,23}

Es claro que cada uno de esos conjuntos tiene último elemento.

El concepto de "último elemento" es variable,
pues es distinto en cada uno  de esos conjuntos.

Entonces lo que en realidad estás haciendo, o te convendría hacer,
es aprovechar la noción de función.

Sea X el conjunto de conjuntos X = {A,B,C},
y sea N el conjunto de números naturales.

Se puede definir la función f con dominio X y codominio N,
tal que para cada conjunto E que pertenece a X, la imagen f(E) sea el último elemento de E.

Entonces, estarías hablando con precisión del último elemento de cada conjunto,
estaría correctamente expresado, y tendría el valor correcto para cada caso:

f(A) = 5
f(B) = 11
f(C) = 23

___________________________________________________

Así que, en vez de usar un símbolo \(\infty\) para denotar un ente "que varía con cada conjunto",
mejor expresar el último elemento con una función de conjuntos.

El inconveniente acá es que, cuando pretendas hacer eso con conjuntos infinitos,
te vas a topar con varias imprecisiones que tendrás que aclarar.
El ejemplo que te puse está armado muy a propósito para que todo cuadre.

Ahora te voy a castigar un poco, para que ya no cuadre nada.

Supongamos que el conjunto E es una circunferencia.
¿Cuál es su "último" elemento?
Mmmmmm.

No hay manera directa de establecer un primero o un último elemento en una circunferencia.
Por lo menos, no de forma honesta.

El problema ahí es que una circunferencia es un conjunto que no tiene asociada una relación de orden.

Así que, si pretendieras definir el valor de f(E), diciendo que es el último elemento de E,
no tendría ningún sentido.
La función estaría mal definida,
y eso es porque está mal definido a lo que le llamás el "'último elemento" de un conjunto.

Por eso, primero tenés que tener claro si está hablando de un conjunto ordenado,
y además si con dicho orden, tu conjunto tiene último elemento.

Sería igual de impropio hablar del "primer entero negativo".

Aceptar de plano "el objeto que cumple una cierta propiedad", que puede no cumplir,
te arrastra a una falacia, que consiste en asumir de manera vedad, implícita, que algo es verdad.
En este caso, la afirmación implícita es que todo conjunto tiene último elemento.
Es una creencia injustificada y falsa.


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Un conjunto nunca está ordenado.
Si a un conjunto se le agrega una relación de orden, entonces forma un "conjunto ordenado",
o también se le dice "sistema ordenado".

Seguidamente ocurre que, aún si un conjunto está ordenado,
no necesariamente tiene un último elemento.

Tomemos el conjunto E = [0,1],
es decir, el intervalo [0,1] de números reales,
y asumamos que tenemos el orden usual de la recta
(que equivale a ordenar en forma de diccionario siguiendo los decimales de cada número).

Es claro que E, como sistema ordenado, tiene un último elemento, que es u = 1.

Si ahora formo el conjunto U = [0, 1),
es decir, el conjunto E, a quien le he quitado el 1,
sigue siendo un sistema ordenado.
¿Pero tiene un último elemento?

Ahora te pongo otro conjunto:

V = (0,1) U [2,3).

Es decir, la unión del intervalo abierto (0,1) y el semiabierto [2, 3).
¿Tiene primer elemento?
¿El número x = 2 pertenece a V?
¿Hay en V un elemento que sea inmediato precedente de 2?

Otro ejemplo.
Cada intervalo \(I_k = [0,1-(10)^k]\), para \(k=1,2,3,...\), tiene un último elemento.
Esos "últimos elementos" serían 0.9, 0.99, 0.999, etc., obviamente.

Ahora me formo un conjunto que es la unión de todos ellos:

\[E=\bigcup_{k=1}^\infty I_k.\]

¿Qué conjunto es \(E\)?
¿Tiene \(E\) un último elemento?

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[Richard R Richard]

Hola  argentinator, por la mañana siempre ando escaso de tiempo para contestar citando por frases,  ahora puedo, solo me quedaron en el tintero alguna que otra incomprensión en el léxico que googlearé para ver si me entero,

Basicamente comprendo que el simbolo no hace al valor, es una convención asignarselo.

el último elemento de un conjunto.

Es que no es así a secas, me lo sacas de contexto, solo es el último de un conjunto con cardinal infinito, no de uno finito como haces el analisis, pero es más, no solo debe ser un conjunto infinito sino tambien ordenado, como hace RDC en su presentación, enumerando 1 a 1 los naturales hasta el infinito, solo me refería para ese caso especifico.

Así que, en vez de usar un símbolo \(\infty\) para denotar un ente "que varía con cada conjunto",
mejor expresar el último elemento con una función de conjuntos.

Es que no puede variar $$\infty$$ es una definición, si tiene infinitos elementos no puede tener mas elementos que otro de infinitos elementos, hablando de cosas que se pueden contar, pues si me hablas de infinito de los naturales , estamos bien , pero si me los mezclas con los reales sabes que no.
El infinito de los enteros y los racionales biyecta con los naturales eso me lo enseñaron aquí, pero los reales no, así que mantengamos el contexto en los naturales.(o no se puede?)

Supongamos que el conjunto E es una circunferencia.
¿Cuál es su "último" elemento?
Mmmmmm.

Comprendo una circunferencia no la puedes biyectar con los naturales, ya que la mayoría de sus puntos son reales, y menos definir un inicio y fin. Pero lo mismo sucedería con los vértices de un triangulo, ¿cual sería el primero? Esa es la idea que me transmites, en la que no hay definido un primero o un último, salvo por elección arbitraria.

Sería igual de impropio hablar del "primer entero negativo".

Bueno es que es invertir el signo, tu lo ves impropio, yo de otra manera, la idea es comprender la de ustedes. 

En este caso, la afirmación implícita es que todo conjunto tiene último elemento.

Es que no enuncié que todo conjunto tiene un último elemento . Solo interpreto que RDC propuso  el de los naturales ordenados, expliquenme ese, hoy Luis me tiro un par de ideas que no cuelan si sostengo mi idea de último.

Seguidamente ocurre que, aún si un conjunto está ordenado,
no necesariamente tiene un último elemento.

Me llevas a los reales de nuevo y veo que llevas razón en que no habría forma clara de definir un último en algunos conjuntos, pero me las dejas picando, me pegas como a Rocky  y cuando lo dejan como una bolsa de machucones y huesos, el director de la peli quiere que gane...entonces con la misma magia se me ocurren formas, que seguro derribarás

Cada intervalo \(I_k = [0,1-(10)^k]\), para \(k=1,2,3,...\), tiene un último elemento.
Esos "últimos elementos" serían 0.9, 0.99, 0.999, etc., obviamente.

Ahora me formo un conjunto que es la unión de todos ellos:

\[E=\bigcup_{k=1}^\infty I_k.\]

¿Qué conjunto es \(E\)?
¿Tiene \(E\) un último elemento?

Debería decirte que no tiene, pero no puedo evitar responder $$I_{\infty} = [0,1-(10)^\infty]$$ sería el último, pero ya lo tengo claro que pensar como pienso trae otras consecuencias , lógicas y otras no tanto

Aver,   si escribo $$\{2,4,6,...,\infty\}$$ este conjunto , con la licencia de haber podido ser definido de ese modo, debería biyectar con los naturales $$\{1,2,3,...,\infty\}$$

lo mismo $$\{3,6,9...,\infty\}$$  y , $$\{4123,8246,...\infty\}$$

luego como corolario $$\infty$$ sería múltiplo de cualquier natural, o bien que es múltiplo de cualquier potencia de cualquier primo, y a la vez el mas grande los primos, llegando a un absurdo y esas p.... mentales que me puedo imaginar así que si no lo puedo poner en el conjunto como me indican, es mejor pues todo esto se evita, para que darle más propiedades a algo que mejor tenga pocas para comprenderlo mejor.

Por eso apunto a la o las razones específicas por la que el valor del cardinal de un conjunto infinito ordenado de menor a mayor de números naturales (únicamente de este conjunto),  no puede ser incluido como elemento dentro del conjunto de los naturales.