Sea $$k \in \mathbb{N}$$ fijado y $$(a_{n})$$ una sucesion definida por:
$$a_{n}=\sqrt{ k+\sqrt{k+....+\sqrt{k}}}$$ con exactamente n raices cuadradas.
(a) Muestre que $$(a_{n})$$ es convergente.
(b) Muestre que cuando $$k$$ es impar, el limite de la sucesion es un numero irracional.
(c) Encuentre todos los valores naturales de $$k$$ para los cuales el limite de la sucesion sea un numero entero.
Mi intento para la (a)
Notemos que $$a_{1}=\sqrt{k} $$ y $$a_{2}=\sqrt{k+\sqrt{k}}.$$ Ahora como $$\sqrt{k} >0 \Rightarrow{ k+\sqrt{k} >k } \Rightarrow{ \sqrt{k+\sqrt{k}} >\sqrt{k} } \Rightarrow{ a_{2} >a_{1}}.$$ Probemos por induccion que la sucesion es creciente.
Para $$n=1 \Rightarrow{ a_{1} < a_{2}}$$
Supongamos que vale para $$n$$ osea $$ a_{n}<a_{n+1} .......(H.I.)$$
Segun la hipotesis inductiva $$a_{n}<a_{n+1} \Rightarrow{ k+a_{n}<k+a_{n+1} } \Rightarrow{ \sqrt{k+a_{n}}<\sqrt{k+a_{n+1}} } \Rightarrow{ a_{n+1}<a_{n+2}}$$
Portanto $$a_{n}$$ es monotona creciente.
Como puedo probar que la sucesion es acotada
