[Anselmo Goedel]

Saludos a todos,
antes de nada pido perdón si este no es el foro más adecuado para subir esta cuestión, pues no sabría clasificar este problema exactamente. Dice así:
La ecuación de una familia de elipsoides es \( U=\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}+\displaystyle\frac{z^2}{c^2} \). Encontrar el vector unitario normal en cada punto de la superficie de estos elipsoides.

Comentaron en clase que calculásemos el gradiente, pero me gustaría entender un poco lo que me están pidiendo y por qué debo usar el operador nabla. No quiero, por así decirlo, mecanizar el problema.
Saludos.

[Masacroso]

Saludos a todos,
antes de nada pido perdón si este no es el foro más adecuado para subir esta cuestión, pues no sabría clasificar este problema exactamente. Dice así:
La ecuación de una familia de elipsoides es \( U=\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}+\displaystyle\frac{z^2}{c^2} \). Encontrar el vector unitario normal en cada punto de la superficie de estos elipsoides.

Comentaron en clase que calculásemos el gradiente, pero me gustaría entender un poco lo que me están pidiendo y por qué debo usar el operador nabla. No quiero, por así decirlo, mecanizar el problema.
Saludos.

Cuando nos dicen la palabra "ortogonal" o "perpendicular" nos tiene que venir inmediatamente a la cabeza el concepto de "producto interior" (o producto escalar como también se denomina a veces). ¿Por qué? Pues porque la noción de "ángulo" (y por tanto también la de ortogonalidad) se define a través de un producto interior.

Con esto en mente y determinados \( a,b,c\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \) definamos la función \( f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R},\, (x,y,z)\mapsto \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} \). Entonces cada elipsoide es una curva de nivel de \( f \), es decir que si \( E \) es un elipsoide entonces existe \( d\in \mathbb{R} \) tal que \( E=f^{-1}(d) \).

Ahora sea \( \gamma :[0,1]\to \mathbb{R}^3 \) una parametrización regular de una curva contenida en \( E \) (es decir, que \( \gamma  \) es inyectiva, continuamente diferenciable y \( \gamma '(t)\neq 0 \) para todo \( t \)). Por tanto para cada \( t\in(0,1) \) tenemos que \( \gamma '(t) \) es un vector tangente a \( E \) en el punto \( \gamma (t) \).

Entonces como la función \( f\circ \gamma  \) es constante (es igual a \( d \) en todos sus puntos) tenemos que \( (f\circ \gamma )'(t)=0 \) para todo \( t\in(0,1) \), que usando la regla de la cadena es equivalente a decir que \( (\nabla  f\circ \gamma )(t)\cdot \gamma '(t)=0 \), es decir, que \( (\nabla  f\circ \gamma )(t) \) y \( \gamma '(t) \) son perpendiculares. Como todo vector tangente a \( E \) en un punto \( p \) es la derivada de una curva \( \gamma  \) contenida en \( E \) que pasa por \( p \), entonces vemos que \( \nabla  f(p) \) es ortogonal a tal vector tangente en \( p \).

Finalmente un vector unitario normal en \( p\in E \) lo obtienes con \( \frac{\nabla f(p)}{\|\nabla f(p)\|_2} \), siendo \( \|\,\cdot\, \|_2 \) la norma euclídea.

[ani_pascual]

Hola:

...
La ecuación de una familia de elipsoides es \( U=\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}+\displaystyle\frac{z^2}{c^2} \). Encontrar el vector unitario normal en cada punto de la superficie de estos elipsoides.

Comentaron en clase que calculásemos el gradiente, pero me gustaría entender un poco lo que me están pidiendo y por qué debo usar el operador nabla. No quiero, por así decirlo, mecanizar el problema.

Hola:
Aunque ya lo ha explicado Masacroso, aporto otro punto de vista, supongo que equivalente, aunque probablemente habría que hacer matizaciones. Si hay algún error ya dirán  . Cada elipsoide es una superficie regular que viene dada por una ecuación implícita de la forma \( F(x,y,z)=0 \) con \( F(x,y,z)=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}-U \). Una posible parametrización es \( \Psi(x,y)=(x,y,z(x,y)) \) donde es \( z(x,y)=\sqrt{c^2\left[U-\left(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}\right)\right]} \). Como base del plano tangente al elipsoide en un punto \( P(x_0,y_0,z_0)=\Psi(x_0,y_0) \) podemos tomar \( \{t_x,t_y\} \) con \( t_x=(1,0,z'_x), t_y=(0,1,z'_y)\} \). Es fácil ver que el gradiente de \( F \) en el punto \( P \) es ortogonal al plano tangente en dicho punto, ya que \( \nabla F(P)\cdot t_x=(F'_x,F'_y,F'_z)\cdot (1,0,z'_x)=F'_x+z'_xF'_z =0\\
\nabla F(P)\cdot t_y=(F'_x,F'_y,F'_z)\cdot (0,1,z'_y)=F'_y+z'_yF'_z =0 \)
Por tanto, un vector unitario normal al elipsoide en cada punto \( P(x,y,z) \), viene dado por \( \vec{n}=\dfrac{\nabla F(P)}{\|\nabla F(P)\|}=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{4x^2}{a^4}+\dfrac{4y^2}{b^4}+\dfrac{4z^2}{c^4}}}\left(\dfrac{2x}{a^2},\dfrac{2y}{b^2},\dfrac{2z}{c^2}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{x^2}{a^4}+\dfrac{y^2}{b^4}+\dfrac{z^2}{c^4}}}\left(\dfrac{x}{a^2},\dfrac{y}{b^2},\dfrac{z}{c^2}\right) \)
AÑADIDO:
También puede comprobarse que el vector producto vectorial \( t_x\times t_y \), perpendicular al plano tangente en \( P \),  es proporcional al gradiente \( \nabla F(P) \)
Saludos