Hola!
Si se sabe que \( a_n=2\cdot5^n+4\cdot(-3)^n \) y \( b_n=3\cdot5^n \) son soluciones particulares de una ecuación en congruencias lineal homogénea de orden dos, entonces también lo es:
1) \( c_n=3\cdot5^n+4 \)
2) \( c_n=2\cdot(-3)^n \)
3) \( c_n=n\cdot5^n \)
4) Ninguna de las anteriores
En primer lugar me pierdo un poco con el enunciado. ¿Cómo es posible que las soluciones particulares de la pregunta "pertenezcan" a la misma ecuación de recurrencia, si una tiene un -3 elevado a la n, la otra no lo tiene, etc? Tenía pensado que debían tener la misma forma, salvo los coeficientes. ¿Es porque se trata de una ecuación sin condiciones iniciales?
En cualquier caso, creo que existe un resultado que dice:
Para obtener una solución particular se puede hacer la combinación lineal de soluciones particulares.
Entonces, la "forma" de una nueva solución particular sería:
\( c_n=A\cdot a_n+B\cdot b_n \) ¿con \( A,B \) números reales?
Entonces:
\( c_n=A(2\cdot5^n+4\cdot(-3)^n)+B(3\cdot5^n) \)
\( c_n=2A\cdot5^n+4A\cdot(-3)^n+3B\cdot5^n \)
\( c_n=(2A+3B)\cdot5^n+4A\cdot(-3)^n \)
Se comprueba visualmente que ninguna de las 3 opciones cumple la forma de esta, por lo tanto la opción correcta es la 4).
¿Está bien? ¿Era necesario llegar hasta este paso o podría haberse concluido antes?
Gracias!!
Saludos
