[luz mar]

Buenos días, me podrían ayudar con el siguiente ejercicio? gracias

Sea \( (X,d)  \) un espacio métrico y dos puntos distintos \( a,b\in{x} \). Demostrar que existen dos números reales, \( r_{p} \) y \( r_{q} \) , ambos mayores que 0, tales que \( B_{rp}\cap{B_{rq}}\equiv{\emptyset} \)

[ani_pascual]

Buenos días, me podrían ayudar con el siguiente ejercicio? gracias

Sea \( (X,d) \) un espacio métrico y dos puntos distintos \( a,b\in{x} \). Demostrar que existen dos números reales, \( r_{p} \) y \( r_{q} \) , ambos mayores que 0, tales que \( B_{rp}\cap{B_{rq}}\equiv{\emptyset} \)

Hola:
Prueba partiendo del hecho de que si \( a\neq b \) entonces la distancia entre ellos es \( d=d(a,b)>0 \) y tomando bolas adecuadas...

Spoiler

...centradas en ellos de radio menor que \( \dfrac{d}{2} \)
Si tomas \( r_a=r_b=\varepsilon<\dfrac{d}{2} \), entonces \( B_{r_a}(a)\cap B_{r_b}(b)=\emptyset \)
Si existiera \( z\in B_{r_a}(a)\cap B_{r_b}(b)\Longrightarrow d(a,b)\leq d(a,z)+d(z,b)<\varepsilon +\varepsilon <\dfrac{d}{2}+\dfrac{d}{2}=d \) que contradice que \( d(a,b)=d \)

[cerrar]

Saludos