[Dant]

Hola, podrían ayudarme con estos ejercicios de edo, es por el método de variación de parámetros, muchas gracias

7. \( y''+2y'+y=\dfrac{e^{-x}}{x} \)

    Respuesta: \( y_p=-xe^{-x}+xe^{-x}ln(x) \)

8. \( y''-y=e^{2x}sin(2x) \)

    Respuesta: \( y_p=\dfrac{1}{65}(-sin(2x)-8cos(2x))e^{2x} \)

[Fernando Revilla]

   Los mismos comentarios que hice en

   https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=125829.msg513736;topicseen#msg513736

[electron]

Te ayudo con la primera.

Siguiendo las indicaciones de las respuestas que te ha pasado Fernando, tenemos:

Sol. homogénea: \( y_h=c_1e^{-x}+c_2xe^{-x} \)

Sol. particular: \( y_p=u_1e^{-x}+u_2xe^{-x} \), con

\( u_1=\displaystyle\int_{}^{}\frac{xe^{-x}·\frac{e^{-x}}{x}}{W}=-x \)

\( u_2=\displaystyle\int_{}^{}\frac{e^{-x}·\frac{e^{-x}}{x}}{W}=lnx \)

donde el Wronskiano \( W \) es

\begin{vmatrix}
e^{-x} & xe^{-x}\\
(e^{-x})' & (xe^{-x})'
\end{vmatrix}

\( =e^{-2x} \)

Saludos

[ani_pascual]

Hola:

Hola, podrían ayudarme con estos ejercicios de edo, es por el método de variación de parámetros, muchas gracias

Por si no te ha quedado claro...

Spoiler

La ecuación característica de \( (\ast ) \,\,\,y''-y=e^{2x}\sen (2x) \) es \( D^2-1=0\Longrightarrow D=\pm 1 \). Por tanto, la solución de la EDO homogénea es \( y_H=C_1e^x+C_2e^{-x} \).
Para hallar una solución particular de \( (\ast) \) con el método de variación de las constantes o parámetros, se resuelve el sistema \( \left\{\begin{array}{l}C_1'e^x+C_2'e^{-x}=0\\C_1'e^x-C_2'e^{-x}=e^{2x}\sen(2x)\end{array}\right.\Longrightarrow \cdots \Longrightarrow \left\{\begin{array}{l}C_1=\displaystyle\int\dfrac{e^x\sen(2x)}{2}\,dx=\cdots = \dfrac{e^x\sen(2x)}{10}-\dfrac{e^x\cos(2x)}{5}\\C_2=\displaystyle\int\dfrac{-e^{3x}\sen(2x)}{2}\,dx=\cdots = \dfrac{-3e^{3x}\sen(2x)}{26}+\dfrac{e^{3x}\cos(2x)}{13}\end{array}\right. \)
Por tanto, una solución particular de \( (\ast) \) sería \( y_p=e^x\left(\dfrac{e^x\sen(2x)}{10}-\dfrac{e^x\cos(2x)}{5}\right)+e^{-x}\left(\dfrac{-3e^{3x}\sen(2x)}{26}+\dfrac{e^{3x}\cos(2x)}{13}\right)=\dfrac{1}{65}\left[-\sen(2x)-8\cos(2x)\right]e^{2x} \)

[cerrar]

Saludos