Hola
Hola:
Estoy intentando resolver un problema de isometrias locales. Dice algo así.
Demostrar que los cilindros \( x^2+y^2=4 \) y \( x^2+y^2=1 \), no son isométricos, pero la aplicación
\( \psi (cos(\theta),sen(\theta),t)=(cos(2\theta),sen(2\theta),t) \)
La aplicación debería de ser:
\( \psi (\color{red}2\color{black}cos(\theta),\color{red}2\color{black}sen(\theta),t)=(cos(2\theta),sen(2\theta),t) \)
Define una isometría local entre ambos cilindros.
Estoy estudiando Geometría diferencial pero no tengo una base muy buena, sobre todo de topología. La primera parte creo que lo he solucionado ya que para demostrar que no son isométricos las primeras formas fundamentales son las mismas.
No entiendo la frase en rojo; no se si quisiste decir eso, o es una errata.
Si las formas fundamentales son las mismas en unos abiertos, entonces SI es una isometría local. Por otro lado que los coeficientes de las formas fundamentales no coincidan no quieres decir necesariamente que no sean localmente isométricas, porque los coeficientes dependen de la parametrización.
Entonces si llamas \( C_2,C_1 \) respectivamente a los cilindros de rado \( 2 \) y \( 1 \) con
cartas locales:
\( f:(\theta_0-\epsilon,\theta_0+\epsilon)\times \Bbb R\to C_2\subset R^3,\quad f(\alpha,t)=(2cos(\alpha),2\sin(\alpha),t) \)
\( g:(2\theta_0-2\epsilon,2\theta_0+2\epsilon)\times \Bbb R\to C_1\subset R^3,\quad g(\alpha,t)=(cos(2\alpha),\sin(2\alpha),t) \)
entonces la aplicación que te proponen \( \psi:C_2\to C_1 \), es:
\( \psi(f(\theta,t)=g(\theta,t) \)
Puedes comprobar que la primera forma fundamental de \( C_2 \) en un punto \( f(\theta,t) \) tiene por coeficientes \( E=4 \), \( F=0 \), \( G=1 \); los mismos que los coeficientes de la primera forma fundamental de \( C_1 \) en el punto \( \psi(f(\theta,t)=g(\theta,t) \).
Por tanto es una isometría
local.
y por tanto:
\( g^{-1}\circ\psi (\theta,t)=(\theta,t) \)
es decir, localmente la identidad y por tanto es isometría local.
Intuitivamente estamos enrollando la pared del cilindro grande sobre el cilindro pequeño, de manera que media circunferencia del cilindro grande ya llenaría la circunferencia entera del pequeño.
En general también es sabido que todo cilindro es localmente isométrico al plano y por tanto dos cilindros son localmente isométricos entre si.
Para ver que no puede haber una isometría global, hay que buscar alguna propiedad que se preserve por isometrías globales y que esté "fallando".
Por ejemplo una isometría (global) debe de llevar curvas cerradas en curvas cerradas, geodésicas en geodésicas y conservar longtiudes de curvas.
Las únicas geodésicas cerradas de un cilindro son las circunferencias máximas contenidas en ellas; pero las del cilindro grande tienen longitud \( 4\pi \) y las del pequeño \( 2\pi \).
Saludos.
