[electron]

Las raíces de \( 2x^2-x+k \) son \( sen\theta \) y \( cos\theta \).

Hallar \( k \).

Spoiler

\( k=-3/4 \)

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Saludos

[martiniano]

Hola.

Spoiler

Por las relaciones de Cardano-Vieta:

 \[ \cos\theta+\sin\theta =\displaystyle\frac{1}{2} \]
\[ \cos\theta \sin\theta=\displaystyle\frac{k}{2}
 \]

De donde:

\[ (\sin\theta +\cos\theta) ^2=\displaystyle\frac{1}{4} \]
\[ \cos^2\theta+sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta =\displaystyle\frac{1}{4} \]
\[ k=2\cos\theta \sin\theta =-\displaystyle\frac{3}{4} \]

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Un saludo.

[electron]

Interesante y rápida resolución.

Yo lo resolví de otra forma, algo más larga:

Spoiler

Soluciones de \( 2x^2-x+k=0 \):

\( x_1=\displaystyle\frac{1+\sqrt[ ]{1-8k}}{4}=sen\theta \)

\( x_2=\displaystyle\frac{1+\sqrt[ ]{1-8k}}{4}=cos\theta \)

\( sen^2\theta+cos^2\theta=x_1^2+x_2^2=1 \)

\( \displaystyle\left(\frac{1+\sqrt[ ]{1-8k}}{4}\right)^2+\left(\frac{1-\sqrt[ ]{1-8k}}{4}\right)^2=\frac{1}{4}-k=1\Longrightarrow{k=-\frac{3}{4}} \)

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Saludos