[ancape]

Hola

Hace tiempo, resolviendo un problema me surgió poder determinar una cónica conociendo un punto \( P \) del plano, su recta polar \( r_P \) y dos puntos \( A,B \) que pertenecen a tal cónica. Pude resolverlo pero empleando un método analítico bastante engorroso manualmente y que puede resolverse fácilmente si se recurre a algún programa informático como Maple que sepa resolver sistemas. Detallo el método en el spoiler que sigue. Mi problema es que el método que yo he empleado calcula la cónica recurriendo a Maple y por tanto no puedo publicar en Geogebra el problema original.

¿Conocéis o podéis indicarme una demostración geométrica de esta determinación de cónicas?

Spoiler

Conocemos \( P \), punto del plano y su polar \( r_P \) respecto de la cónica \( c \). Conocemos además dos puntos \( A,B \) de \( c \)
Ponemos \( P,r_P,A,B \) en coordenadas homogéneas y tendremos \( P = (1,p_x,p_y),A=(1,a_1,a_2),B=(1,b_1,b_2), r_P=(r_0,r_1,r_2) \) si la ecuación cartesiana de \( r_P \) es \( r_0+r_1x+r_2y=0 \). Si \( M \) es la matriz de la cónica buscada entonces \( r_P=M·P \) (tres ecuaciones) y \( A·M·A^t=0, B·M·B^t=0 \) (dos ecuaciones). Tenemos pues un sistema de 5 ecuaciones con 6 incógnitas (\( M \) es matriz 3x3 simétrica) que determina \( c \) cuya ecuación viene dada por un polinomio homogéneo de \( 2º \) grado igualado a cero.
 

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Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Pero esos datos no determina de manera única la cónica; falta un dato más.

 En realidad que conozcas la recta polar en un punto sólo impone dos condiciones; que los coeficientes de la recta polar calculada con \( P \) sean proporcionales a los de la recta polar dada.

Saludos.

[ancape]

Hola

 Pero esos datos no determina de manera única la cónica; falta un dato más.

 En realidad que conozcas la recta polar en un punto sólo impone dos condiciones; que los coeficientes de la recta polar calculada con \( P \) sean proporcionales a los de la recta polar dada.

Saludos.

En Geogebra he hecho lo siguiente:

Elijo un punto \( P \) al azar y una recta \( r \) que quiero sea la polar de \( P \) respecto a una cónica que pase por \( A,B \) y que voy a determinar. En Maple construyo una matriz simétrica \( M \) con \( a11,a12,a13,a22,a23,a33 \). La ecuación matricial \( r = M P^t \) me da tres ecuaciones que junto a las dos que dan \( A \) y \( B \) dan un sistema de 5 ecuaciones con 6 incógnitas. Le digo a Maple que lo resuelva y me da el valor de 5 incógnitas y una libre (por ejemplo da \( a22=a22 \)) que tomo como 1 (también lo he hecho tomando a22=2, a22=3.73 etc y siempre sale el mismo dibujo). Represento el resultado en Geogebra y veo claramente una cónica que contiene \( A,B \) y respecto de la cual \( P \) tiene como polar \( r \). Me parece mucha casualidad que salga esto siempre que lo hago. Además si dos rectas tienen todos sus coeficientes proporcionales, son iguales (por ejemplo, \( 2x+3y+5=0 \) es la misma recta que \( 4x+6y+10=0 \)).

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

. Además si dos rectas tienen todos sus coeficientes proporcionales, son iguales (por ejemplo, \( 2x+3y+5=0 \) es la misma recta que \( 4x+6y+10=0 \)).

Si; precisamente que dos rectas sean la misma sólo impone dos condiciones (la proporcionalidad de los coeficientes y no su igualdad).


En este dibujo moviendo el parámetro \( t \) tienes una familia de cónicas que pasa por \( A=(2,3) \), \( B=(2,1) \) y tiene a la recta \( x=1 \) por la polar del punto \( P=(0,0) \).

Saludos.

[ancape]

Hola

. Además si dos rectas tienen todos sus coeficientes proporcionales, son iguales (por ejemplo, \( 2x+3y+5=0 \) es la misma recta que \( 4x+6y+10=0 \)).

Si; precisamente que dos rectas sean la misma sólo impone dos condiciones (la proporcionalidad de los coeficientes y no su igualdad).


En este dibujo moviendo el parámetro \( t \) tienes una familia de cónicas que pasa por \( A=(2,3) \), \( B=(2,1) \) y tiene a la recta \( x=1 \) por la polar del punto \( P=(0,0) \).

Saludos.

Tienes razón. Cuando resolví el problema buscaba una cónica y como la encontré me di por satisfecho. Ni siquiera me planteé que fuera única. Miro tu hoja de Geogebra para ver si tu contraejemplo es muy particular o la construcción geométrica sirve para cualquier par polo-polar.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Tienes razón. Cuando resolví el problema buscaba una cónica y como la encontré me di por satisfecho. Ni siquiera me planteé que fuera única. Miro tu hoja de Geogebra para ver si tu contraejemplo es muy particular o la construcción geométrica sirve para cualquier par polo-polar.

El contraejemplo está construido simplemente imponiendo sobre sus coeficientes que  cumpla lo deseado: pasar por \( A,B \) y la recta polar de \( P \) la indicada (con los valores concretos que dije antes). Simplemente son cuatro condiciones y por eso sale una familia de cónicas que depende de un parámetro; así que no tiene nada de particular.

Saludos.

[ancape]

Hola

Gracias a que Luis me hizo ver que la cónica que buscaba no era única, he conseguido una construcción geométrica de una cónica de la que se conocen un punto del plano que no pertenece a la cónica, su polar y dos puntos que sí pertenecen a ella. Acompaño hoja de Geogebra con la construcción, La cónica está determinada cuando se da un punto X sobre la recta polar dada. Moviendo X podemos conseguir todas las cónicas que cumplen tales condiciones.

Se da un Punto del plano \( A \), una recta \( P_A \) que no contiene a \( A \) y dos puntos más \( P_1,P_2 \). Buscamos una cónica que pase por \( P_1,P_2 \) y respecto de la cual \( A,P_A \) sean polo-polar.

- Elegimos en \( P_A \) un punto arbitrario \( X \). Unimos \( P_1,P_2 \) con \( A \) y obtenemos los puntos \( D,F \)
- Los puntos \( G,E \) se consiguen como cuartos armónicos de \( F,A,P_1 \)y \( D,A,P_2 \)
- \( P_1,P_2,X,G,E \) determinan la cónica buscada
- Para cada elección de X tenemos una cónica. Así la solución no es única.

¡¡¡Gracias Luis !!!

Saludos