[ancape]

Hola

A propósito del hilo iniciado por JVC en https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=125515.msg511884;topicseen#msg511884 os propongo la siguiente generalización:

Dada una elipse de semiejes \( a,b \), encontrar rectángulos circunscrtos a ella que tengan áreas máxima y mínima

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Spoiler

El área mínima es \( 4ab \) cuando los lados del rectángulo son paralelos a los ejes de la elipse.

 El área máxima es \( 2(a^2+b^2) \) cuando los puntos de tangencia de los lados del rectángulo son \( \dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}(\pm a^2,\pm b^2) \) y el rectángulo es en realidad un cuadrado.

 Las cuentas me han sido algo aparatosas; cuando tengo un rato las escribo.

[cerrar]

Saludos.

[ancape]

Hola

Spoiler

El área mínima es \( 4ab \) cuando los lados del rectángulo son paralelos a los ejes de la elipse.

 El área máxima es [ex]2(a^2+b^2)[/tex] cuando los puntos de tangencia de los lados del rectángulo son \( \dfrac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}(\pm a^2,\pm b^2) \) y el rectángulo es en realidad un cuadrado.

 Las cuentas me han sido algo aparatosas; cuando tengo un rato las escribo.

[cerrar]

Saludos.

Hola
Lo he hecho numéricamente y el resultado que das es correcto 
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Después de darle algunas vueltas un razonamiento rápido para el rectángulo de área máxima.

Spoiler

- Para una elipse de ecuación \( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \) el conjunto de puntos desde los cuales las dos tangentes a la elipse son perpendiculares forma una circunferencia llamada circulo director. Es una circunferencia con el mismo centro que la elipse y radio \( \sqrt{a^2+b^2} \).

- Es inmediato que el rectángulo de máximo área inscrito en una circunferencia es el cuadrado. Es fácil ver que el que tiene los vértices en los ejes coordenados es tangente a la elipse y por tano necesariamente es el rectángulo de area máxima. Su área es:

\(  \dfrac{1}{2}diagonal^2=\dfrac{1}{2}(2\sqrt{a^2+b^2})^2=2\sqrt{a^2+b^2} \)

[cerrar]

Saludos.

[ancape]

Hola

 Después de darle algunas vueltas un razonamiento rápido para el rectángulo de área máxima.

Spoiler

- Para una elipse de ecuación \( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \) el conjunto de puntos desde los cuales las dos tangentes a la elipse son perpendiculares forma una circunferencia llamada circulo director. Es una circunferencia con el mismo centro que la elipse y radio \( \sqrt{a^2+b^2} \).

- Es inmediato que el rectángulo de máximo área inscrito en una circunferencia es el cuadrado. Es fácil ver que el que tiene los vértices en los ejes coordenados es tangente a la elipse y por tano necesariamente es el rectángulo de area máxima. Su área es:

\(  \dfrac{1}{2}diagonal^2=\dfrac{1}{2}(2\sqrt{a^2+b^2})^2=2\sqrt{a^2+b^2} \)

[cerrar]

Saludos.

 
Magnífico. Demostración geométrica, como a mi me gustan. ¡¡ Qué suerte tienen tus alumnos!!

Saludos