Sea $$S$$ parte del paraboloide $$z=2-x^2-y^2$$ que está arriba del plano $$z=1.$$ Calcule el flujo del campo vectorial
$$F(x,y,z)=\frac{1}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}(x,y,z)$$ a través de $$S.$$
Aplicando el teorema de Gauss al sólido $$W$$ con frontera $$\partial W=S \cup{ S_1}$$ y con normal exterior tenemos:
$$\iint_{S}F.n dS +\iint_{S_{1}}F.n_{1} dS= \iiint_{W} 0 dW. $$ pues $$ \mbox{ div } (F)=0.$$
$$S_1: z=1 ; x^2+y^2 \leq{1 } \Rightarrow{ \varphi( x,y)=(x,y,1)} \Rightarrow{ \varphi _{x} \times \varphi_{y}=(0,0,1)}$$ como la normal debe ser exterior tomamos $$(0,0,-1)$$ y $$F(\varphi(x,y))=\Big(*,*, \frac{1}{(x^2+y^2+1)^{3/2}}\Big)$$
Así: $$ \iint_{S_{1}}F.n_{1} dS= \iint_{ x^2+y^2 \leq{ 1 }} \frac{-1}{(x^2+y^2+1)^{3/2}} =\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^1 \frac{-r}{(r^2+1)^{3/2}} drd \theta = 2 \pi \Big(1- \frac{1}{\sqrt{2}} \Big).$$
Por tanto el flujo será: $$2 \pi \Big( \frac{1}{\sqrt{2}}-1 \Big).$$
Por otro lado, quiero calcular el flujo sin usar el teorema de Gauss: Hice lo siguiente, parametricé la superficie
$$ S: \varphi(r, \theta) = (r \cos \theta, r \sin \theta, 2-r^2) \Rightarrow{ \varphi_{r} \times \varphi_{\theta }=(2r^2 \cos \theta, 2r^2 \sin \theta,r) }$$
y
$$ F(\varphi (r, \theta))= \frac{1}{\Big(r^2+(2-r^2)^2\Big)^{3/2}}\Big( r \cos \theta, r \sin \theta, 2-r^2 \Big)$$
Así obtuve la integral $$ \iint_{S}F.n dS= \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} \frac{r^3+2r}{ (r^4-3r^2+4)^{3/2}}drd \theta= 2 \pi \int_{0}^{1} \frac{r^3+2r}{( r^4-3r^2+4)^{3/2}}dr $$
O sea para calcular el flujo solo resta calcular la integral :
$$ \int_{0}^{1} \frac{x^3+2x}{ (x^4-3x^2+4)^{3/2}}dx$$
y es así como surgió esa integral que estoy procurando hallar su valor. ¿Alguna idea?
¿O será que esa integral no puede ser calculada?
Mensaje de la moderación: se ha corregido un poco el \( \LaTeX \) (básicamente cambiar \int\int por \iint) y algunos acentos y puntuaciones.
