Hola
Para resolver el problema de mínima distancia de un punto a una cónica o equivalentemente del trazado de recta normal a una cónica pasando por un punto exterior o interior a ella, hice la siguiente construcción;
Nos dan una cónica c y un punto P, trazamos con centro en P cinco circunferencias que corten a la cónica y obtenemos cinco puntos M1,M2,….,M5 puntos medios de los cinco pares de puntos intersección obtenidos. Trazamos la cónica h que determinan tales cinco puntos. La intersección de las cónicas c y Hpm son dos puntos X, Y en los que las rectas Nmx y Nmy son normales a c.
El método se basa en que los puntos medios de las intersecciones de una familia de círculos concéntricos con una cónica fija es una cónica.
La afirmación anterior debe ser cierta pues la he comprobado innumerable número de veces con Geogebra y siempre obtengo que es exacta. Obviamente esto no prueba nada pero me anima a demostrar que es un resultado válido.
He intentado obtener las intersecciones analíticamente pero llego a una ecuación de cuarto grado. Si fuese una de segundo grado ya lo tendría.
También he mirado la curva que forman tales puntos medios como los cuartos armónicos de puntos del infinito.
Las polares de los puntos del infinito respecto a la cónica dada envuelven la curva generada por los puntos medios. ¿Es una cónica?En resumen, planteo el siguiente problema:
Dada una cónica y un punto no perteneciente a ella, demostrar que el conjunto de puntos medios de los pares de puntos intersección de dicha cónica con el haz de círculos concéntricos de centro el punto dado, forman una cónica.Saludos
