[athairdos]

Hola, tengo algunas dudas sobre el tema de extensiones de campos, en particular, extensiones finitas, campos intermedios, etc. El ejemplo es elemental y sería así:

Respecto del campo ampliado \( \mathbb{Q} \), por adjunción de raíces, es decir \( \mathbb{Q}(i, \sqrt{2}) \), la pregunta es si lo siguiente es correcto (en todo o en parte):

\( \mathbb{Q}(i)\cong{\mathbb{Q}(x)/<x^{2}+1>} \) es decir, isomorfo a tal anillo cociente.

Luego: \( \mathbb{Q}(\sqrt{2})\cong{\mathbb{Q}(x)/<x^{2}-2>} \) es decir, isomorfo a tal anillo cociente.

Luego, si lo anterior fuera correcto:

Para expresar que el campo \( \mathbb{Q}(i \sqrt{2})) \) es intermedio: \( \mathbb{Q}\subset{\mathbb{Q}(i  \sqrt{2})}\subset{\mathbb{Q}(i, \sqrt{2})} \)

se podria escribir \( \mathbb{Q}(x)/<x^{2}+2>\cong{\mathbb{Q}(i \sqrt{2})}\subset{\mathbb{Q}(i, \sqrt{2})} \)?

(*) Todo lo anterior presupone que \( \mathbb{Q}(i, \sqrt{2})\cong{\mathbb{Q}(x)/<x^{2}+1, x^{2}-2>} \), cuya veracidad también ignoro y dejo aquí al final la pregunta sobre la misma (aunque de esto dependa lo anterior)(?)

(**) En el punto anterior habia escrito inicialmente  \( \mathbb{Q}(i, \sqrt{2})\cong{\mathbb{Q}(x)/<x^{2}+1><x^{2}-2>} \); despues lo corregí escribiendo los dos polinomios generadores dentro de
2 unicos brackets; asi que aprovecho para preguntar si es lo mismo \( \mathbb{Q}(i, \sqrt{2})\cong{\mathbb{Q}(x)/<x^{2}+1><x^{2}-2>} \) que \( \mathbb{Q}(i, \sqrt{2})\cong{\mathbb{Q}(x)/<x^{2}+1, x^{2}-2>} \) o incluso si la primera expresion existe (?)

Saludos

[geómetracat]

Yo lo veo todo correcto.
Añadido: No del todo, ver el siguiente mensaje.

[athairdos]

Gracias! Al final agregué una duda más. Pd: y ahora otra mas.

[geómetracat]

(*) Todo lo anterior presupone que \( \mathbb{Q}(i, \sqrt{2})\cong{\mathbb{Q}(x)/<x^{2}+1><x^{2}-2>} \), cuya veracidad también ignoro y dejo aquí al final la pregunta sobre la misma (aunque de esto dependa lo anterior)(?)

No, esto es falso. Tampoco tengo muy claro si por \( <x^{2}+1><x^{2}-2> \) te quieres referir al producto de dos ideales o al ideal generado por esos dos elementos. En cualquier caso, el isomorfismo es falso.
Esto está mal:

Spoiler

Lo que sí es cierto es:
\( \mathbb{Q}(i, \sqrt{2})\cong{\mathbb{Q}[x,y]/<x^{2}+1, y^{2}-2>} \)

[cerrar]

Por cierto, ahora que me fijo mejor no está del todo correcto lo anterior. Por ejemplo, has escrito \( \mathbb{Q}(x)/<x^{2}+2>\cong{\mathbb{Q}(i \sqrt{2})} \) cuando debería ser \( \mathbb{Q}{\color{red}[}x{\color{red}]}/<x^{2}+2>\cong{\mathbb{Q}(i \sqrt{2})} \). Es decir, el anillo del que haces el cociente es un anillo de polinomios, no de funciones racionales. Lo mismo pasa con todos los isomorfismos que has escrito.

Corregido.

[athairdos]

Ok, gracias! Agregué 2 preguntas mas, la primera ya esta está respondida, quedaria la segunda (que consta a su vez de dos partes)(?)

[geómetracat]

Como dije, tienes que poner el anillo de polinomios en los cocientes (es decir, corchetes cuadrados en vez de paréntesis).

(**) En el punto anterior habia escrito inicialmente  \( \mathbb{Q}(i, \sqrt{2})\cong{\mathbb{Q}{\color{red}[}x{\color{red}]}/<x^{2}+1><x^{2}-2>} \); despues lo corregí escribiendo los dos polinomios generadores dentro de
2 unicos brackets; asi que aprovecho para preguntar si es lo mismo \( \mathbb{Q}(i, \sqrt{2})\cong{\mathbb{Q}{\color{red}[}x{\color{red}]}/<x^{2}+1><x^{2}-2>} \) que \( \mathbb{Q}(i, \sqrt{2})\cong{\mathbb{Q}{\color{red}[}x{\color{red}]}/<x^{2}+1, x^{2}-2>} \) o incluso si la primera expresion existe (?)

Notacionalmente, la primera expresión se podría interpretar como que estás cocientando por un producto de ideales. Si tienes dos ideales \( I,J \) de un anillo \( A \), se define su producto como \( IJ=\{ \sum_k x_k y_k : x_k \in I, y_k \in J\} \) (la suma finita, claro). Es decir, los elementos de \( IJ \) son los que se pueden expresar como sumas de productos de un elemento de \( I \) por uno de \( J \).

En este caso, lo que ocurre es que el producto de ideales es el ideal generado por el producto de polinomios: \( <x^{2}+1><x^{2}-2> = <(x^2+1)(x^2-2)> = <x^4-x^2-2> \). Y entonces el cociente de \( \Bbb Q[x] \) por este ideal no es un cuerpo (porque el polinomio que genera el ideal por el que cocientas no es irreducible), y de hecho tampoco es un dominio de integridad. Así que no puede ser \( \Bbb Q(i, \sqrt{2}) \).

El isomorfismo \( \mathbb{Q}(i, \sqrt{2})\cong \mathbb{Q}[x]/<x^{2}+1, x^{2}-2> \) también es falso. De hecho, lo que sucede aquí es que como los polinomios \( x^{2}+1 \) y \( x^{2}-2 \) son coprimos, el ideal que generan es todo el anillo, es decir, \( <x^{2}+1, x^{2}-2> = \Bbb Q(x) \) (esto se ve rápidamente usando la identidad de Bézout). Entonces lo que tienes es que \( \mathbb{Q}[x]/<x^{2}+1, x^{2}-2> \cong 0 \), es el anillo trivial.

[athairdos]

Ok; entonces si el isomorfismo para \( \mathbb{Q}(i, \sqrt{2}) \), me surgen varias dudas adicionales:
 
Si es falso, entiendo que todo lo anterior no podria ser la demostración de que el campo \( \mathbb{Q}(i \sqrt{2}) \) es intermedio; así que quedan varias dudas.

Los primeros dos isomorfismos.son correctos?

El polinomio \( x^{2}+2 \) tiene alguna relevancia en alg

Ok; entonces si el isomorfismo para \( \mathbb{Q}(i, \sqrt{2}) \), me surgen varias dudas adicionales:
 
Si es falso, entiendo que todo lo anterior no podria ser la demostración de que el campo \( \mathbb{Q}(i \sqrt{2}) \) es intermedio; así que quedan varias dudas.

Los primeros dos isomorfismos.son correctos?

El polinomio \( x^{2}+2 \) tiene alguna relevancia en alguna demostración? Idem para el cociente \( \mathbb{Q}[x]/<x^{2}+2> \)?

Es relevante aquí usar algun isomorfismo para \( \mathbb{Q}(i, \sqrt{2}) \)? Si lo fuera, cuál podria ser(.tal que el segundo isomorfismo, si fuera válido, fuera un subconjunto de algún cociente isomorfo a \( \mathbb{Q}(i, \sqrt{2}) \)?

Saludos

[geómetracat]

Ok; entonces si el isomorfismo para \( \mathbb{Q}(i, \sqrt{2}) \), me surgen varias dudas adicionales:
 
Si es falso, entiendo que todo lo anterior no podria ser la demostración de que el campo \( \mathbb{Q}(i \sqrt{2}) \) es intermedio; así que quedan varias dudas.

Ah no, claro. Pero la demostración de eso es bastante directa. Por un lado, es obvio que \( i\sqrt{2} \in \Bbb Q(\sqrt{2}, i) \), porque por definición tienes que \( i, \sqrt{2} \in \Bbb Q(\sqrt{2},i) \) y un cuerpo es cerrado por el producto. Esto ya prueba que \( \Bbb Q(i\sqrt{2}) \subseteq \Bbb Q(\sqrt{2}, i) \). Por otro lado, también por definición tienes que \( \Bbb Q \subseteq \Bbb Q(i\sqrt{2}) \). Si además quieres ver que ambas inclusiones son estrictas, ten en cuenta que por un lado \( \Bbb Q \neq \Bbb Q(i\sqrt{2}) \) porque \( i\sqrt{2} \notin \Bbb Q \), y por otro lado, \( \Bbb Q(i\sqrt{2}) \neq \Bbb Q(\sqrt{2}, i) \) porque el primero es un cuerpo de grado \( 2 \) sobre \( \Bbb Q \) y el segundo es de grado \( 4 \) sobre \( \Bbb Q \).

Los primeros dos isomorfismos.son correctos?

Con la precisión de que el anillo del que haces cociente es \( \Bbb Q[x] \) y no \( \Bbb Q(x) \), sí.

El polinomio \( x^{2}+2 \) tiene alguna relevancia en alguna demostración? Idem para el cociente \( \mathbb{Q}[x]/<x^{2}+2> \)?

Es relevante aquí usar algun isomorfismo para \( \mathbb{Q}(i, \sqrt{2}) \)? Si lo fuera, cuál podria ser(.tal que el segundo isomorfismo, si fuera válido, fuera un subconjunto de algún cociente isomorfo a \( \mathbb{Q}(i, \sqrt{2}) \)?

Si te refieres a la demostración de que \( \Bbb Q(i\sqrt{2}) \) es un cuerpo intermedio de \( \Bbb Q(i, \sqrt{2}) \), es básicamente lo que he puesto arriba. No es necesario usar explícitamente el polinomio \( x^2+2 \).

[athairdos]

Hola, gracias (!); surgen algunas preguntas más (orientativas); por ejemplo:

Es posible usar el polinomio \( x^{2}+2 \) en la demostración de lo anterior?

Por otro lado; entiendo lo de los polinomios coprimos, la identidad de bezout y un ideal principal; aquí me surge la siguientes dos preguntas:

Si 2 o mas polinomios, supuestos generadores de un ideal no son coprimos entonces se puede obtener un anillo cociente?

[Luis Fuentes]

Hola

Si 2 o mas polinomios, supuestos generadores de un ideal no son coprimos entonces se puede obtener un anillo cociente?

Si claro; siempre que se tiene un ideal en un anillo conmutativo se puede considerar el anillo cociente. En concreto si trabajas en el anillo de polinomios \( \Bbb Q[x] \), como es un dominio de ideales principales cualquier ideal está generado por un sólo polinomio:

\( <p_1(x),p_2(x),\ldots,p_n(x)>=<mcd(p_1(x),p_2(x),\ddots,p_n(x))> \)

Saludos.