Hola la armonica conjugada que obtuve del primer problema me dio $$\frac{x}{x^2+y^2}$$
De donde
$$v(x, y)=\frac{x}{x^2+y^2}+x+i(\frac{x}{x^2+y^2})+K$$ esta esto bien
Hola:
No lo veo correcto; puedes comprobar derivando que la función \( \tilde{u}=\dfrac{x}{x^2+y^2}+K \) no es la armónica conjugada de \( u=\dfrac{x}{x^2+y^2}+x \), ya que no cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann \( u_x=\tilde{u}_y, u_y=-\tilde{u}_x \)
El resultado al que llego yo es
Spoiler
\(
f(z)=f(x+iy)=\dfrac{x}{x^2+y^2}+x+i\left(y-\dfrac{y}{x^2+y^2}+K\right)=z+\dfrac{\bar{z}}{|z|^2}+iK=z+\dfrac{1}{z}+iK \)
Saludos
