[Fermatsito]

Buenos días. Estaba resolviendo el siguiente problema (lo vi en un video de YouTube sobre olimpiadas):

\( (\sqrt[3]{x}+2)^4+(\sqrt[3]{x}-2)^4=256 \)

Al resolverlo, en algún punto del procedimiento llego a la expresión:

\( \sqrt[3]{x}=\pm 2\sqrt{7}i \)

Que resolví (tal vez ingenuamente de mi parte) elevando a ambos lados de la expresión al cubo, y obtuve los valores \( x_{1, 2}= \pm 56\sqrt{7}i \).

Sin embargo, al verificar en Wolfram esas "soluciones", no me da como resultado \( 256 \) y, de hecho, al introducir en Wolfram la ecuación \( \sqrt[3]{x}=\pm 2\sqrt{7}i \) me dice que no existen soluciones.

¿Alguien podría darme una explicación de por qué no hay soluciones o recomendarme algún libro donde aprender más acerca de cuándo una ecuación con números complejos tiene soluciones o no? Lo agradecería mucho.   

[Luis Fuentes]

Hola

Buenos días. Estaba resolviendo el siguiente problema (lo vi en un video de YouTube sobre olimpiadas):

\( (\sqrt[3]{x}+2)^4+(\sqrt[3]{x}-2)^4=256 \)

Al resolverlo, en algún punto del procedimiento llego a la expresión:

\( \sqrt[3]{x}=\pm 2\sqrt{7}i \)

 Supongo que también te han salido las otras dos soluciones \( \pm \sqrt[3]{2} \).

 No tengo mucho tiempo ahora, pero el problema es que si trabajamos con números complejos, la raíz cúbica de un número complejo tiene tres soluciones, tres posibles valores; hay uno que se considera el valor principal que esencialemente es el que tiene el argumento más bajo.

 El problema es que \( \pm 2\sqrt{7}i \) no son las raíces cúbicas principales de \(  \pm 56\sqrt{7}i \) y por eso cuando le pides a Wolfram que evalúe, él utiliza la raíz principal y esta no verifica la ecuación de partida.

al introducir en Wolfram la ecuación \( \sqrt[3]{x}=\pm 2\sqrt{7}i \) me dice que no existen soluciones.

Eso es porque, o bien el busca soluciones reales, o bien solo considera las raíces cúbicas principales.

Saludos.

[electron]

Te faltan otras dos soluciones (que proceden de una bicuadrada): \( \sqrt[ 3]{x}=\pm{2} \). Ambas verifican la ecuación.

Me parece que el problema está en que en realidad existen 3 raíces cúbicas de \( x \), distintas, cuyo cubo es el mismo (\( 56\sqrt{7}i \)). Tú has obtenido una, que es \( x=2\sqrt[ ]{7}_{90º} \); pero hay otras dos que son \( x=2\sqrt[ ]{7}_{210º} \) y \( x=2\sqrt[ ]{7}_{330º} \). Mathematica sólo maneja la "principal".

Un saludo

[Ignacio Larrosa]

Mathematica resuelve la ecuación elevando al cubo, prueba a resolverla paso a paso, pero al comprobar la solución no le da, porque utiliza para la raíz solo el valor principal (el de argumento menor) y no verifica la ecuación. Con DERIVE, un software bastante antiguo, me pasa igual, usando cualquiera de los tres modos de que dispone para la rama compleja: «Real»,  «Principal» o «Any». Con DERIVE lo entiendo, pero pensé que Mathematica manejaría mejor la situación.

Curiosamente DERIVE si le pides que resuelve la ecuación original completa, lo hace correctamente, aunque tarda bastante, dando las cuatro soluciones: \( -56\sqrt{7}i, 56\sqrt{7}i, -8, 8 \).

Saludos,

[Fermatsito]

Hola

Buenos días. Estaba resolviendo el siguiente problema (lo vi en un video de YouTube sobre olimpiadas):

\( (\sqrt[3]{x}+2)^4+(\sqrt[3]{x}-2)^4=256 \)

Al resolverlo, en algún punto del procedimiento llego a la expresión:

\( \sqrt[3]{x}=\pm 2\sqrt{7}i \)

 Supongo que también te han salido las otras dos soluciones \( \pm \sqrt[3]{2} \).

 No tengo mucho tiempo ahora, pero el problema es que si trabajamos con números complejos, la raíz cúbica de un número complejo tiene tres soluciones, tres posibles valores; hay uno que se considera el valor principal que esencialemente es el que tiene el argumento más bajo.

 El problema es que \( \pm 2\sqrt{7}i \) no son las raíces cúbicas principales de \(  \pm 56\sqrt{7}i \) y por eso cuando le pides a Wolfram que evalúe, él utiliza la raíz principal y esta no verifica la ecuación de partida.

al introducir en Wolfram la ecuación \( \sqrt[3]{x}=\pm 2\sqrt{7}i \) me dice que no existen soluciones.

Eso es porque, o bien el busca soluciones reales, o bien solo considera las raíces cúbicas principales.

Saludos.

Hola, gracias por la respuesta. Ya estuve verificando a mano mis resultados y parece ser que tienes razón, Wolfram solamente toma el valor principal o, al menos, no considera todos los valores posibles.
Incluso verifique a mano sustituyendo directamente en la expresión original y (ahorrándome de escribir muchos cálculos tediosos) obtengo:

\( (\sqrt[3]{56\sqrt{7}i}+2)^4+(\sqrt[3]{56\sqrt{7}i}-2)^4=1558i^{4/3}+1344i^{2/3}+32 \)

Tanto \( i^{4/3} \) como \(  i^{2/3}  \) tienen tres soluciones, entre las cuales están \( i^{4/3}=1 \) y \(  i^{2/3}=-1  \), que al sustituirlos en la expresión de arriba sí da \(  256  \); seguramente esos valores no los considera Wolfram y por eso no me da el resultado al evaluar. Ya está mucho más claro 

Saludos.

[Fermatsito]

Te faltan otras dos soluciones (que proceden de una bicuadrada): \( \sqrt[ 3]{x}=\pm{2} \). Ambas verifican la ecuación.

Me parece que el problema está en que en realidad existen 3 raíces cúbicas de \( x \), distintas, cuyo cubo es el mismo (\( 56\sqrt{7}i \)). Tú has obtenido una, que es \( x=2\sqrt[ ]{7}_{90º} \); pero hay otras dos que son \( x=2\sqrt[ ]{7}_{210º} \) y \( x=2\sqrt[ ]{7}_{330º} \). Mathematica sólo maneja la "principal".

Un saludo

Gracias por la respuesta. Ya hice la comprobación a mano (puse el procedimiento que seguí en otro comentario) y ya verifiqué los cuatro resultados . Creo que debo aprender a confiar menos en Wolfram y más en mi propia capacidad de cálculo. 

[Fermatsito]

Mathematica resuelve la ecuación elevando al cubo, prueba a resolverla paso a paso, pero al comprobar la solución no le da, porque utiliza para la raíz solo el valor principal (el de argumento menor) y no verifica la ecuación. Con DERIVE, un software bastante antiguo, me pasa igual, usando cualquiera de los tres modos de que dispone para la rama compleja: «Real»,  «Principal» o «Any». Con DERIVE lo entiendo, pero pensé que Mathematica manejaría mejor la situación.

Curiosamente DERIVE si le pides que resuelve la ecuación original completa, lo hace correctamente, aunque tarda bastante, dando las cuatro soluciones: \( -56\sqrt{7}i, 56\sqrt{7}i, -8, 8 \).

Saludos,

Gracias por la respuesta Parece que a las computadoras aún les cuesta trabajo esto de manejar números complejos (lo cuál, al igual que usted, me parece un poco raro a estas alturas). Pero haciendo el proceso a mano pude verificar las cuatro soluciones correctas que aquí me proporciona.