[ancape]

No obstante, la pregunta era si la igualdad de ángulos y la de dos lados es suficiente o no para que dos triángulos sean idénticos. La respuesta NO, se consigue presentando UN contraejemplo como hizo ani_pascual.

Hola, ancape:
¡Ojo! Si se omite esa coma de color rojo, la frase tiene una lectura errónea, pues parece que da a entender que "la respuesta no se consigue presentando un contraejemplo", cuando en realidad sí se consigue, Con esto del lenguaje, ya sea oral o escrito, hay que tener un cuidado 
También intuía que se podrían buscar contraejemplos con otros tipos de triángulos, pero lo busqué entre los triángulos rectángulos porque así me parecía más fácil llegar a encontrar un ángulo \( \alpha \) que implicara la igualdad del segundo lado.
Saludos

Gracias por la observación. Estoy apenado pues siempre presumo de que creo que hay que escribir bien para hacer entender claramente lo que se quiere decir. La puntuación de las frases es importantísima y suelo poner el ejemplo de la coma y el no para ilustrarlo. No es lo mismo escribir en el desarrollo de una ley: 'no, está prohibido robar' que escribir 'no está prohibido robar'. También las tildes son importantísimas, esta, está, ejército, ejercito, ejercitó,..... Las h, b, v son mas bien una cuestión estética pero está bien cuidar la ortografía. Es muy impactante leer uebo pero se entiende.

Saludos

[ancape]

Muy buena demostración  , entiendo casi todo menos la parte r<ϕ

Hola:
Me parece que ha sido un lapsus de ancape; pues \( r^2-r-1>0 \) para \( r\in \left]-\infty,-\dfrac{1}{\Phi}\right[\cup \left]\Phi,\infty\right[ \), de donde ha de ser \( 1<\Phi <r \)
Saludos

Hola

No es un lapsus. La inecuación \( r^2-r-1>0 \) dice que la frontera derecha de \( r \) se encuentra en la solución de \( r^2-r-1=0 \) que es \( r=\displaystyle\frac{1+\sqrt[ ]{5}}{2} \) (el signo menos de la raíz no vale pues \( r>1)  \) y como era \( r>1 \) tendremos \( 1<r<\displaystyle\frac{1+\sqrt[ ]{5}}{2} \)

Saludos

[ani_pascual]

Hola:

No es lo mismo escribir en el desarrollo de una ley: 'no, está prohibido robar' que escribir 'no está prohibido robar'. También las tildes son importantísimas, esta, está, ejército, ejercito, ejercitó, [...]  Es muy impactante leer uebo pero se entiende.

No es un lapsus. La inecuación \( r^2-r-1>0 \) dice que la frontera derecha de \( r \) se encuentra en la solución de \( r^2-r-1=0 \) que es \( r=\displaystyle\frac{1+\sqrt[ ]{5}}{2} \) (el signo menos de la raíz no vale pues \( r>1)  \) y como era \( r>1 \) tendremos \( 1<r<\displaystyle\frac{1+\sqrt[ ]{5}}{2} \)

Pero ¿no te parece que si \( 1<r<\Phi \) entonces \( r^2-r-1<0 \) y, por tanto, \( ar^2-ar-a<0\Longrightarrow ar<a+\dfrac{a}{r} \), lo cual no es posible?
Saludos

[ancape]

.......
Pero ¿no te parece que si \( 1<r<\Phi \) entonces \( r^2-r-1<0 \) y, por tanto, \( ar^2-ar-a<0\Longrightarrow ar<a+\dfrac{a}{r} \), lo cual no es posible?

Los lados del triángulo son \( \displaystyle\frac{a}{r}, a, ar. \) (ordenados de menor a mayor) El lado mayor es \( ar \) que es más pequeño que la suma de los otros dos, esto es, \( ar^2-ar-a<0\Longrightarrow ar<a+\dfrac{a}{r} \). ¿Dónde está la imposibilidad?

Saludos

[Richard R Richard]

Si un lado tiene a y otro tiene ar , para poder formar un triángulo el tercer lado debe ser mayor a ar-a y menor a ar+a, eso pone cota a r, pero además necesitas mantener la seguir la serie geométrica para arriba para obtener  un triángulo y para abajo para obtener el otro.
Así
$$\dfrac ar \geq ar-a$$ y $$ar+a\leq ar^2$$


Independizando de a y suponiendo $$r>1$$ para sentido crecientes


$$\dfrac 1r \geq r-1$$ y $$r+1\leq r^2$$

Osea
$$1 \geq r^2-r$$ y $$r+1\leq r^2$$

$$1+r \geq r^2$$ y $$r+1\leq r^2$$

Entonces

$$1+r=r^2 $$

$$r=\dfrac{1\pm\sqrt5}{2}$$ y solo $$r=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$$ es mayor a 1


Hay solo una relación de lados que satisface el problema.

Sería la máxima relación posible entre los lados, la mínima es claramente 1  cuando es un equilátero, pero ese límite no aplica al problema ya que necesitamos que un lado tenga diferente longitud por definición del problema.


Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Hay solo una relación de lados que satisface el problema.

No estoy muy seguro que quieres decir con eso. Como mostro ancape hay infinitos pares triángulos semejantes, que tienen un par de de uno iguales a un par de lados del otro.

Si suponemos que el lado menor del triángulo más pequeño vale \( 1 \) sus lados serían \( 1\leq a\leq b \).

Los del mayor con razón de semejanza \( k>1 \) serían \( k\leq ak\leq bk \).

Para que coincida un par de lados necesariamente: \( a=k \) y \( ak=b \) de donde \( b=a^2 \). Es decir las parejas de triángulos tienen lados:

\( 1\leq a\leq a^2 \)
\( a\leq a^2\leq a^3 \)

para que \( a^2\color{red}< \color{black} 1+a \), tiene que cumplir se que \( a\color{red}< \color{black}  \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \). Además \( a=k\color{red}> 1\color{black} \).


Saludos.

CORREGIDO

[ani_pascual]

.......
Pero ¿no te parece que si \( 1<r<\Phi \) entonces \( r^2-r-1<0 \) y, por tanto, \( ar^2-ar-a<0\Longrightarrow ar<a+\dfrac{a}{r} \), lo cual no es posible?

Los lados del triángulo son \( \displaystyle\frac{a}{r}, a, ar. \) (ordenados de menor a mayor) El lado mayor es \( ar \) que es más pequeño que la suma de los otros dos, esto es, \( ar^2-ar-a<0\Longrightarrow ar<a+\dfrac{a}{r} \). ¿Dónde está la imposibilidad?

Saludos

Hola:
Tienes razón, sí es posible; lo que sucede es que me he dejado llevar por tu razonamiento expuesto aquí

En todo triángulo, el lado mayor es menor que la suma de los otros dos lados \( \Rightarrow{} ar\textcolor{red}{>}\displaystyle\frac{a}{r}+a \) \( \Rightarrow{}r^2-r-1\textcolor{red}{>}0 \) esto es \( 1<r<\displaystyle\frac{1+\sqrt[ ]{5}}{2} \) (otra vez el número áureo).

y pensaba que se había de verificar \( r^2-r-1>0 \), pero ahora veo que tenías una errata y, se trata de que ha de ser \( r^2-r-1<0 \), debido a que \( ar<a+\dfrac{a}{r}  \) y por tanto, \( 1<r<\Phi \)
Saludos

[ancape]

..... tiene que cumplirse que \( a\leq \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \). Además \( a=k\geq 1 \).

Hola

\( k \) no puede valer 1 (pues tendríamos triángulos equiláteros) y tampoco \( \displaystyle\frac{1+\sqrt[ ]{5}}{2} \)

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

..... tiene que cumplirse que \( a\leq \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \). Además \( a=k\geq 1 \).

Hola

\( k \) no puede valer 1 (pues tendríamos triángulos equiláteros) y tampoco \( \displaystyle\frac{1+\sqrt[ ]{5}}{2} \)

Saludos

Si. Lo de \( k=1 \) no porque sean equiláteros, sino por que los dos serían el mismo triángulo y no diferentes que es lo que buscamos

Lo otro para evitar el triángulo que degenera en un segmento.

Gracias.

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola

Hay solo una relación de lados que satisface el problema.

Si evidentemente redacte mal, no sé que cable se me cruzó,  fijate que mensajes antes , había posteado lo que dices, el cálculo responde a la máxima relación que pueden tener los lados.