Hola estaba haciendo este ejercicio de parametrización, pero tengo dudas, creo que está mal.
El ejercicio dice así:
1- Considere las superficies $$ E_1 = \{(x,y,z)\in{\mathbb{R}^3}: x^2 + y^2 = 1 + z^2 \} , E_2 = \{(x,y,z)\in{\mathbb{R}^3} : x = z + 1 \} $$
Sea $$C = E_1\cap{E_2} $$ la curva que resulta de intersecar las superficies $$ E_1 , E_2 $$ .
a) Hallar una parametrización de C .
b) Hallar todos los puntos P de C tales que la recta tangente a C en P sea paralela a la recta $$ L : t(3,2,3) + (1,2,3) $$
RESOLUCION
Lo que hice fue :
Los puntos de $$ E_1 $$ cumplen que sus coordenadas x e y están en una circunferencia centrada en $$(0,0)$$ de radio $$ \sqrt[ ]{z^2 +1} $$
A su vez, estos puntos deben cumplir la ecuación del plano $$E_2$$ . Armo el sistema de ecuaciones:
$$\begin{cases}{x^2 + y^2 = z^2 + 1}&\\x = z+1 & \end{cases}$$
Como $$E_1$$ es una región circular, busco parametrizar con coordenadas polares: $$ x = r cos(t) , y = r sen(t) $$
Finalmente llego a esta expresión de la curva C :
$$ C: \sigma (t) = (\sqrt[ ]{z^2+1}. cos(t) , \sqrt[ ]{z^2 + 1}. sen(t) , \sqrt[ ]{z^2 +1} .cos(t) - 1) $$
Aquí mi duda es si estaría bien expresarlo así, porque me queda ese z suelto, no sería solamente el parámetro t
y no se si es correcto que quede en función de z y t la parametrización.
Respecto al punto b) , quiero los puntos P de C cuya recta tangente sea paralela a la recta L. Para averiguar la dirección de la recta tangente a la curva C derivo la curva parametrizada e igualo al vector dirección de L.
Pero no se si es correcto hacer esto , porque desconfió de la expresión a la que llegué para la curva C . Además me piden todos los puntos de C que cumplan esa condición y no se bien como obtenerlos. ¿Alguna pista?
Les agradezco desde ya!
