Hola.
(1) Supon que tenemos el triángulo \( ABC \), el centro de la circunferencia buscada es el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos internos del triángulo, a este punto se lo conoce como incentro del triángulo \( ABC \).
En realidad es suficiente trazar las bisectrices de dos de los ángulos del triángulo y su punto de intersección, \( O \), es el centro de la circunferencia buscada. El radio de la circunfenrencia esta determinado por la perpendicular a cualquiera de los lados del triángulo que pase por \( O \).
(2) Supon que las longitudes de los radios de las circunferencias sean \( R_{1},\;R_{2} \) y \( R_{3} \), luego realiza un dibujo y comprueba que (salvo el órden en que tomes los radios) se verifica el sistema
\( \begin{Bmatrix}{ R_{1}+R_{2}}&=& 6\\R_{2}+R_{3}&=& 8\\R_{1}+R_{3}&=& 10\end{matrix} \)
Sólo queda resolverlo y encontrar el menor de los radios.
(3) Observa qeu en general si tenemos una figura como la que se muestra
Donde \( M,N,R \) y \( P \) son puntos de tangencia, se tiene que
\( AM=AP \), \( BN=BM \), \( CR=CN \) y \( DP=DR \)
Luego
\( AB+CD=(AM+BM)+(CR+DR)=AP+BN+CN+DP= \)
\( =(BN+CN)+(AP+DP)=BC+AD \)
Por tanto en todo cuadrilátero como en el dibujo ocurre que \( AB+CD=BC+AD \).
(4) Si para un cuadrilátero existe una circunferencia tangente a todos sus lados, deme cumplirse la relación dada en
(3), pero en este momento no tengo claro que si se cumple la relación deducida en
(3), para un cuadrilátero, entonces existe una circunferencia tangente a todos sus lados.
Saludos.
P.D: Creo que me tardé demasiado en este mensaje 
. Aladán, perdón por repetir la respuesta de las primeras preguntas, me dió pena borrarlas .
