[Omega52]

No sé este post está bien colocado aquí, porque es de matemáticas (ecuaciones diferenciales), pero se trata también de física, e incluso de teoría de circuitos. Para los veteranos en la materia seguro que es "una tontería", pero para los que estamos empezando cuesta horrores.


Sea un circuito serie RLC con R=10 Ohmios, L=1 Henrio, C=0,01 Faradio. La fuente de tensión da una tensión de 0v los 10 primeros segundos, y de 20v a partir de ese instante (es decir, es una función escalón, no da tensión en el intervalo [0,10), y da 20V constantes en el intervalo (10,infinito).

Calcula I=I(t).[/color]

Yo hago lo siguiente:

Aplico mallas (kirchhoff) y obtengo:

\( L\displaystyle\frac{dI}{dt}+RI+\displaystyle\frac{Q}{C}=E \)

Sé que \( Q=\displaystyle\int_{0}^{t}I(t)dt \) por lo que sustituyo y me queda que:

\( L\displaystyle\frac{dI}{dt}+RI+\displaystyle\frac{1}{C}\displaystyle\int_{0}^{t}I(t)dt=E \)


Hasta ahí he llegado. Mirando por internet he visto algunos texto que toman "impedancias de Laplace" y es muy sencillo de resolver (quedaría una fuente conectada con una impedancia), pero aún no lo he dado.

He pensado en derivar mi última ecuación y tomar transformadas de Laplace, pero me pierdo y no sé seguir.

A ver si me podéis echar un cable, y nunca mejor dicho 


Saludos

[Omega52]

He avanzado, a ver si me decís si avanzo en el sentido correcto o no:

\( L\displaystyle\frac{dI}{dt}+RI+\displaystyle\frac{1}{C}\displaystyle\int_{0}^{t}I(t)dt=E \)

Tomo transformadas:

\( L[I][Lz+R+\displaystyle\frac{1}{Cz}]=20\displaystyle\frac{e^-^1^0^z}{z} \)

Nótese que E(t) lo he considerado como una función salto.

Despejo L, sustituyo los valores de R, L, C y hago la antitransformada, por partes, y me sale:

I(t)=20t-200+2

¿Es correcto?, me mosquea que en t=0 la intensidad no sea cero, aunque bueno, en el circuito tampoco hay interruptores....

[Jabato]

Yo lo haría de la siguiente forma:

\( L\displaystyle\frac{dI}{dt}+RI+\displaystyle\frac{Q}{C}=E \)

hasta aquí igual que tu, aunque a partir de aqui operaría en la siguiente forma, derivo esta última ecuación respecto del tiempo y obtengo:

\( LI'' + RI' +\displaystyle\frac{I}{C}=0 \)

que es una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes y homogénea, cuya solución general no es dificil de obtener, solución válida en todo instante, y a partir de aquí razonaría con las condiciones de contorno para obtener una particular que funcione, teniendo en cuenta que durante los primeros 10 segundos la tensión es nula, y por lo tanto salvo que el condensador tenga carga inicial (el enunciado no lo dice y por lo tanto debo suponer que no la tiene), la corriente debería de serlo también. A partir del segundo 10 la fuente da una tensión de 20V, lo que nos permite encontrar una particular para este intervalo de tiempo, no parece muy dificl el problema.

Por cierto, si haces t = 0 en la solución que aportastes obtienes en ese instante una corriente de ¿-198 A ó -198 mA?

¿Cual es la fuente de tensión que genera esa intensidad? Según entendi tu enunciado no hay tensión en el circuito hasta transcurridos los 10 primeros segundos ¿es correcta mi conclusión?

Saludos, Jabato.

[Omega52]

hasta aquí igual que tu, aunque a partir de aqui operaría en la siguiente forma, derivo esta última ecuación respecto del tiempo y obtengo:

\( LI'' + RI' +\displaystyle\frac{I}{C}=0 \)

Al hacer eso te "cargas" la E(t), y entiendo que estaría bien ya que es cte (0v) o cte (20v)

"El problema" es que al tomar transformadas para resolver, al ser 0 el segundo miembro, me queda que I(t)=0, por lo que no sale. (¿esto no correcto, verdad?). Mis operaciones:

\( L[z^2L[I]-zI(0)-I'(0)]+RL[I]+\displaystyle\frac{1}{X}[L[I]]=0 \)

\( L[I][Lz^2+R+\displaystyle\frac{1}{C}-LzI(0)-LI'(0)=0 \)

Aquí suponiendo I(0)=0, e I'(0)=0 me queda I(t)=0 (MAL).

que es una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes y homogénea, cuya solución general no es dificil de obtener, solución válida en todo instante, y a partir de aquí razonaría con las condiciones de contorno para obtener una particular que funcione, teniendo en cuenta que durante los primeros 10 segundos la tensión es nula, y por lo tanto salvo que el condensador tenga carga inicial (el enunciado no lo dice y por lo tanto debo suponer que no la tiene), la corriente debería de serlo también. A partir del segundo 10 la fuente da una tensión de 20V, lo que nos permite encontrar una particular para este intervalo de tiempo, no parece muy dificl el problema.

Creo que supones bien, carga inicial=0, e I(t=0)=0.

Intento resolver la ecuación como "diferencial lineal con coeficientes constantes y homogénea":

\( LI'' + RI' +\displaystyle\frac{I}{C}=0 \)

Por tanto: \( r^2+10r+100=0 \) (el 100 es de la división de C, además ya he sustituido los valores de R y L).

Las soluciones (complejas) son: \( -5+10i\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}  \).   y    \( -5-10i\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2} \).

En los apuntes tengo que para resolver este tipo de ecuaciones hay que hacer:

Siendo

\( r=a\pm{}bi \)

Yh(homogenea)=\( e^a^x(M_1cosbx+M_2senbx) \)

Me queda \( Y_h=e^-^5^x(M_1cos10x\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2}+(M_2sen10x\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3}}{2})) \)


Ya no sé seguir, y dudo seriamente de que lo que he hecho esté bien. EDITO: lo he hecho con el derive y está bien hecho!! Ahora ¿cómo calculo las ctes para llegar a la I(t)?

Por cierto, si haces t = 0 en la solución que aportastes obtienes en ese instante una corriente de ¿-198 A ó -198 mA?

¿Cual es la fuente de tensión que genera esa intensidad? Según entendi tu enunciado no hay tensión en el circuito hasta transcurridos los 10 primeros segundos ¿es correcta mi conclusión?

Serían Amperios, ya que las unidades están en el SI. Y sí, tu conclusión es correcta  (y mi solución una mierda, aunque no sé en qué fallo, ya que tomando transformadas debería salir).

[Jabato]

Bien, ahi va mi solución, en primer lugar te diré que un problema eléctrico conviene plantearlo utilizando las leyes de la electricidad y no las de las matemáticas, una vez planteado correctamente, entonces obtendrás una ecuación (ó varias) que deben ser resueltas, y es ahí donde las matemáticas pueden ayudarnos, pero hacerlo al revés puede traer consecuencias inesperadas, es decir, que afirmar que utilizando la transformada de Laplace debe salir, tiene su riesgo, no lo sé, es posible que sí, pero yo desde luego no me arriesgaré, así que usaré las leyes de la teoría de circuitos, suele ser menos arriesgado. Al menos esa parece que es una conclusión valida en base a mi experiencia, ya sé que algún matemático podrá estar en contra, vamos seguro que habrá opiniones para todos los gustos, bien, dejemos las mates para los matemáticos y usemos la teoría de circuitos los ingenieros, ¿no te parece? Es más razonable.

Acabado ya mi discurso, me pongo a la faena. La ecuación diferencial que obtuvimos era:

(1)   \( I'' + 10I' +100I=0 \)

y la solución, obtenida aplicando el mismo método que aplicaste tu pero sin errores creo, es en mi opinión:

(2)   \( I=e^-^5^t\left (ACos5\ \sqrt[ ]{3}t+BSen5\ \sqrt[ ]{3}t\right ) \)

Durante los 10 primeros segundos A = B = 0 puesto que la intensidad debe anularse, pero a partir de ese momento debe satisfacerse la ecuación:

(3)   \( I'+10I+\displaystyle\frac{1}{100}\displaystyle\int_{0}^{t}Idt=20 \)

debiendo cumplirse además que:

(4)   \( I(0)=0 \)

la intensidad en el instante de aparecer la tensión sea nula. Esta segunda ecuación está planteada tomando como origen de tiempos el primer instante en que E = 20, ojo con eso.

Substituyendo (2) en (3) y (4) obtienes un sistema de ecuaciones que te permitirá determinar los valores de A y B, con lo que tu problema quedará resuelto, creo.

Saludos, Jabato.